错排

前言(可跳过)

今天考试要用，而据说之前学过 完全没印象 ，特地前来补坑

真是 KCUF

正题

对于 \(cp(n)\) \((cp=\)错排\()\)

算了，还是叫它 \(D(n)\) 吧

如果对于 \(1\)~\(n\) 的序列，第一位填了 \(x(2\le x\le n)\)

① 第 \(x\) 位填了1，那么剩下的 \(n-2\) 位就又转换为了相同的问题，而且有 \(n-1\) 种情况( \(x\) 有 \(n-1\) 种情况)，所以这种情况总的就是 \((n-1) * D(n-2)\) 如图：

② 第 \(x\) 位填的数字不是 \(x\) 也不是 \(1\)(否则就和上面重复了)，那么我们现在就可以把 \(1\) 和 \(x\) 看成一个数了，因为一个没有数字，一个没有位置，老惨了

理解：就是现在的 \(1\) 不能填 \(x\) 的位置，其它的 \(n-2\) 个数字不能填它们对应的位置，所以就相当于 \(1\) 是 \(x\) 了(每个数字都有且仅有一个位置不能填)

剩下就是 \(n-1\) 个位置，第一个数 \(x\) 有 \(n-1\) 种情况，所以这种情况总的就是 \((n-1) * D(n-1)\)，如图：

\(\therefore D(n) = (n-1) * \left[D(n-1)+D(n-2)\right]\)

特别的：

\(D(1) = 0\)(1个数字，1个位置你怎么错排？？？)

\(D(0) = 1\)(错排即任何数字都没有在相应的位置上，没有数字当然就是一种排法)

结论

\(D(n) = (n-1) * \left[D(n-1)+D(n-2)\right]\)

\(D(1) = 0\)

\(D(0) = 1\)