字典树
零、前言
这是一篇高开低走的博客
一、普通Trie树
1.定义？
又称单词查找树，Trie树，是一种树形结构，是一种哈希树的变种。典型应用是用于统计，排序和保存大量的字符串（但不仅限于字符串），所以经常被搜索引擎系统用于文本词频统计。
摘自百度百科
2.讲解
又到了喜闻乐见的百度百科自学时间
如果你一头雾水地回来了，那我就成功了，嘿嘿嘿
(1).小知识
它可以用来干嘛？
做题！这不废话
见定义？
而且它的时间复杂度为\(O(m|S|)\)(一般是这样)
\(|S|\)为字符串长度，\(n\)个字符串，\(m\)为操作次数，但其实建树也需要时间\(O(n|S|)\)
字典树开的空间当然就是有多少点就开多少空间(记得加上可能加的点的空间)
(2).具体实现
我们先讲建树
假设我们有\(26\)个小写字母，组成了长度不超过\(50\)的单词 (谁家单词这么长) 字符串
比如有：
\(aba,aaa,aa,bc\)
我们就可以这么建树：
首先我们需要一个超级源点 (原点?)，我比较喜欢用\(0\)号点(因为不用赋值就是\(0\))
红色数字为点的编号，蓝色圈圈中的黑色字母为当前点的字母，绿色数字为\(cnt\)，用来记录字符串在哪里结束，有多少个
然后插入第一个字符串\(aba\)
我们具体的操作为：从源点出发，看一看有没有第一个字母\(a\)曾经出现过
如果没有，新建一个点作为当前点(源点)的\(a\)号儿子，然后走到这个儿子上
如果有，直接走到这个儿子上
当我们走到最后一步时，我们需要一个标记表示走到这步的时候就是一个字符串了
所以在每个点中，我们需要一个\(cnt\)记录字符串出现次数
在我们的这道例题中，当然就有\(26\)个儿子，一个\(cnt\)
经过第一个插入操作，我们可以得到这么一棵字典树：
然后我们插入第二个单词：
第三个单词：
由于之前已经有\(aa\)了，所以我们只需走到\(aa\)，\(\text{++}cnt\)就好了
第四个单词，另起一个枝干：
如果你想查询是否存在一个字符串\(S\)，只需要从源点开始，一步一步走，如果到不了终点或者终点的\(cnt\)为\(0\)，就是没有这个字符串
反之则有
最大败笔：图太丑！！！
3.练习
4.代码
阅读理解代码
//12252024832524
#include <set>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAXN = 25;
int n,num;
char w[MAXN];
struct Tire
{
int a[26],c;//字母 & 次数
set<int> s;
}t[MAXN*10005];//每个单词最大长度 * 单词数
int Read()
{
int x = 0,f = 1;char c = getchar();
while(c > '9' || c < '0'){if(c == '-')f = -1;c = getchar();}
while(c >= '0' && c <= '9'){x = (x<<3) + (x<<1) + (c^48);c = getchar();}
return x * f;
}
void in(char *w1,int x)//insert
{
int len = strlen(w1);
int xb = 0;
for(int i = 0;i < len;++ i)
{
int dz = w1[i] - 'a';
if(!t[xb].a[dz])
t[xb].a[dz] = ++num;
xb = t[xb].a[dz];
t[xb].c++;
}
t[xb].s.insert(x);
}
void Q(char *w1)
{
int len = strlen(w1);
int xb = 0;
for(int i = 0;i < len;++ i)
{
int dz = w1[i] - 'a';
xb = t[xb].a[dz];
if(t[xb].c == 0)
return;
}
set<int>::iterator it;
int ans[1005],tot = 0;
for(it = t[xb].s.begin();it != t[xb].s.end();++ it)
ans[++tot] = *it;
for(int i = 1;i < tot;++ i)
printf("%d ",ans[i]);
if(tot)
printf("%d",ans[tot]);
}
int main()
{
int T = Read();
for(int wz = 1;wz <= T;++ wz)
{
n = Read();
for(int i = 1;i <= n;++ i)
{
scanf("%s",w);
in(w,wz);
}
}
int q = Read();
while(q --)
{
scanf("%s",w);
Q(w);
if(q)
putchar('\n');
}
return 0;
}
最长异或路径代码
//12252024832524
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAXN = 100005;
const int INF = 2147483647;
int n,tot,ans;
int head[MAXN],xo[MAXN];
struct edge
{
int v,w,nxt;
}e[MAXN << 1];
struct trie
{
int ch[2];
bool val;
trie(){ch[0] = ch[1] = 0;}
}t[MAXN * 31];
int Read()
{
int x = 0,f = 1;char c = getchar();
while(c > '9' || c < '0'){if(c == '-')f = -1;c = getchar();}
while(c >= '0' && c <= '9'){x = (x*10) + (c^48);c = getchar();}
return x * f;
}
void Put1(int x)
{
if(x > 9) Put1(x/10);
putchar(x%10^48);
}
void Put(int x)
{
if(x < 0) putchar('-'),x = -x;
Put1(x);
}
template <typename T>T Max(T x,T y){return x > y ? x : y;}
template <typename T>T Min(T x,T y){return x < y ? x : y;}
template <typename T>T Abs(T x){return x < 0 ? -x : x;}
void Add_Edge(int x,int y,int val)
{
e[++tot].v = y;
e[tot].w = val;
e[tot].nxt = head[x];
head[x] = tot;
}
void dfs(int x,int fa,int s)
{
xo[x] = s;
for(int i = head[x]; i ;i = e[i].nxt)
{
if(e[i].v == fa) continue;
dfs(e[i].v,x,s^e[i].w);
}
}
void ins(int x)
{
int now = 0;
for(int i = 30;i >= 0;-- i)
{
bool d = (1<<i)&x;
if(!t[now].ch[d])
t[now].ch[d] = ++tot;
now = t[now].ch[d];
}
}
void solve(int x)
{
int now = 0,dz = 0;
for(int i = 30;i >= 0;-- i)
{
bool d = (1<<i)&x;
if(t[now].ch[d^1])
{
now = t[now].ch[d^1];
dz |= (1 << i);
}
else
now = t[now].ch[d];
}
ans = Max(ans,dz);
}
int main()
{
// freopen(".in","r",stdin);
// freopen(".out","w",stdout);
n = Read();
for(int i = 1;i < n;++ i)
{
int u = Read(),v = Read(),w = Read();
Add_Edge(u,v,w);
Add_Edge(v,u,w);
}
dfs(1,0,0);
tot = 0;
for(int i = 1;i <= n;++ i)
ins(xo[i]);
for(int i = 1;i <= n;++ i)
solve(xo[i]);
Put(ans);
return 0;
}
二、可持续化Trie树
我们可以类比主席树
1.讲解
如果你学懂了普通的\(Trie\)树，那么我们来学学可持续化的\(Trie\)树
如果你没有学过主席树，没有关系，虽然学过会更好懂一些
我们拿板题来讲
首先我们需要各个元素(第\(i\)号元素为\(a[i]\))的异或前缀和，把\(i\)的前缀和记为\(s[i]\)
\(s[i]\oplus s[j](i<j)\)就可以得到\(a[i+1]\)~\(a[j]\)的异或和(基操，勿6，皆坐，观之)
(1).建树 & 插入
我们的具体思路为，对于每个\(s[i]\)建一棵\(Trie\)树，当然，这个时候就不是字符串了，而是二进制
尽管时间和空间都无法接受
但是我们发现了一个规律(虽然这并没有什么联系)：
\(s[i]\)与\(s[i-1]\)很明显可以共用很多个节点
对于每个\(i\)，我们当然需要一个根\(rt[i]\)
然后插入\(s[i]\)的时候我们同时跑\(i-1\)和\(i\)
可以省下很多空间，当然也有时间
(2).查询
首先我们把\(X \oplus s[n]\)，记为\(x\)好了，只需要找\(x \oplus s[i] (l-1\le i \le r)\)，使得\(x \oplus s[i]\)最大
怎么搞呢，当然就是贪心啦
我们把\(x\)的二进制表示的第\(i\)位记为\(x_i\)
我们贪心的想，如果使得\(x_i\)变为\(1\)，一定是最优的，因为如果你\(x_i\)不为\(1\)，即为\(0\)，那么后面的所有位即使都是\(1\)，加起来也没有\(x_i\)为\(1\)大了
所以我们要尽量选$x_i \oplus s[j]_i=$1，但是怎么判断是否可以这么选呢？
这时我们的\(cnt\)就不要为结束的标志了，而是每到一个点就\(+1\)
我们同时跑\(l-1\)和\(r\)，如果\(t[r_{now}].cnt - t[(l-1)_{now}].cnt > 0(t\)为字典树\()\)，那么就可以选
反之则不行
2.练习
3.代码
板题代码
//12252024832524
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAXN = 300005;
const int MAXLOG = 23;
int n,m;
int a[MAXN * 2],rt[MAXN * 2];
char opt[2];
int Read()
{
int x = 0,f = 1;char c = getchar();
while(c > '9' || c < '0'){if(c == '-')f = -1;c = getchar();}
while(c >= '0' && c <= '9'){x = (x*10) + (c^48);c = getchar();}
return x * f;
}
void Put1(int x)
{
if(x > 9) Put1(x/10);
putchar(x%10^48);
}
void Put(int x,char c = -1)
{
if(x < 0) putchar('-'),x = -x;
Put1(x);
if(c >= 0) putchar(c);
}
template <typename T>T Max(T x,T y){return x > y ? x : y;}
template <typename T>T Min(T x,T y){return x < y ? x : y;}
template <typename T>T Abs(T x){return x < 0 ? -x : x;}
int tot;
struct trie
{
int ch[2],cnt;
}t[MAXN * MAXLOG * 2];
void ins(int &x1,int x2,int d,int val)
{
x1 = ++tot;
t[x1] = t[x2];
t[x1].cnt ++;
if(d == -1) return;
bool now = val & (1 << d);
ins(t[x1].ch[now],t[x2].ch[now],d-1,val);
}
int trieq(int x1,int x2,int d,int val)
{
if(d == -1 || (!x1 && !x2)) return 0;
bool now = val & (1 << d);
if(t[t[x1].ch[!now]].cnt > t[t[x2].ch[!now]].cnt)
return (1 << d) + trieq(t[x1].ch[!now],t[x2].ch[!now],d-1,val);
else return trieq(t[x1].ch[now],t[x2].ch[now],d-1,val);
}
int main()
{
// freopen(".in","r",stdin);
// freopen(".out","w",stdout);
n = Read()+1;
m = Read();
for(int i = 2;i <= n;++ i) a[i] = Read() ^ a[i-1];
for(int i = 1;i <= n;++ i) ins(rt[i],rt[i-1],MAXLOG,a[i]);
while(m --)
{
scanf("%s",opt);
if(opt[0] == 'A') n++,a[n] = Read() ^ a[n-1],ins(rt[n],rt[n-1],MAXLOG,a[n]);
else
{
int l = Read(),r = Read();
Put(trieq(rt[r],rt[l-1],MAXLOG,Read()^a[n]),'\n');
}
}
return 0;
}
Update
\(2020.05.18\)，更新了以前没学懂的时候用的指针模板(现已改为非指针)
