欧拉定理
内容
欧拉定理(\(a\)与\(m\)互质)：
\[a^{\varphi(m)}≡1(mod\space m)
\]
其中\(\varphi\)表示欧拉函数
证明
以下证明都是在\(mod\space m\)意义下
首先我们用\(x_1,x_2,\dots,x_{\varphi(m)}\)表示小于\(m\)且和\(m\)互质的所有数
\(p_i=a*x_i\)
①对于\(p_1,p_2,\dots,p_{\varphi(m)}\)，两两不同余
证明：
反证法：
假设有一个\(p_i\)和\(p_j\)同余\((p_i<p_j)\)，那么\(a*(x_i-x_j)=0\)，而\(a\)与\(m\)互质，所以要想同余，那么\((x_i-x_j)\)是\(m\)的倍数，而\(x_i\)和\(x_j\)都小于\(m\)，所以\((x_i-x_j)\)不是\(m\)的倍数
证毕
当然对于\(x_1,x_2,\dots,x_{\varphi(m)}\)也是一样的
②每个\(p_i\)和\(m\)互质
证明：
\(p_i=x_i*a\)，而\(gcd(x_i,m)=1,gcd(a,m)=1\)，所以\(gcd(p_i,m)=1\)
证毕
③最后的证明
根据①②
\[\prod_{i=1}^{\varphi(m)}p_i=\prod_{i=1}^{\varphi(m)}x_i
\]
两边同除\(\prod_{i=1}^{\varphi(m)} x_i\)
\[\prod_{i=1}^{\varphi(m)}p_i/x_i=\prod_{i=1}^{\varphi(m)}x_i/x_i
\]
即：
\[\prod_{i=1}^{\varphi(m)}a=\prod_{i=1}^{\varphi(m)}1
\]
嘿嘿嘿：
\[a^{\varphi(m)}≡1(mod\space m)
\]
特殊情况
①费马小定理
\[a^{p-1}≡1(mod\space p)
\]
其中\(p\)是质数
当然费马小定理已经被证明了
因为\(\varphi(p)=p-1\)
②扩展欧拉定理
当\(a\)和\(m\)不互质的时候怎么办呢？
首先互质的时候：
\[a^c≡a^{c\mod\varphi(m)}(mod\space m)
\]
而现在增加了不互质的情况：
\[a^c≡\begin{cases}a^{c\mod\varphi(m)} & gcd(a,m)=1\\a^c & gcd(a,m)\ne1,c < \varphi(m)\\a^{(c\mod\varphi(m))+\varphi(m)} & gcd(a,m)\ne1,c \ge \varphi(m)\end{cases}
\]
证明：
咕咕咕
