费马小定理
内容
若\(p\)为质数，\(a\)为正整数，且\(gcd(a,p)=1\),则\(a^{p-1}≡1\pmod p\)
证明
首先我们要证明三个小性质
①\(gcd((p-1)!,p)=1\)
因为p为质数，所以\(gcd(i,p)=1(1 <= i < p , i\)为整数\()\)
由此可推出①
②没有一个整数 \(a\) (不是\(p\)的倍数)和整数 \(i\) ,使得\(a * i = 0 \pmod p\)，
因为\(gcd(a,p) = 1\)，所以\(gcd(i * a,p) = 1\)
由此可推出②
③\(i∗a\)中没有任何两个数在模\(p\)意义下同余
设\(a=b∗p+r\)，则 \(gcd(i * r,p) = 1\) ,没有一个\(i∗r\)是\(p\)的倍数( ② )。
假设有两个\(i∗r\)在模\(p\)意义下同余，即设\(c ∗ r≡d ∗ r\pmod p(c<d)\)。
那么\((d − c) ∗ r ≡ 0 \pmod p\)，即$p | (d−c) ∗ r
由于 \(1≤d−c≤p−1\), 这与没有一个\(i ∗ r\)是\(p\)的倍数矛盾。
所以\(i∗r\)中没有任何两个数在模\(p\)意义下同余得证。
由此可推出③
最终证明
由②③可得\(i ∗ a % p\) 之后一定是\(1,2,3,…,p−1\)的一个排列，也就是：
\(a ∗ 2a ∗ 3a ∗ ... ∗ (p−1) * a ≡ 1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ ... ∗ (p−1) \pmod p\)
\((p-1)! * a^{p-1} ≡ (p-1)!\pmod p\)
两边同除\((p - 1)!\) , 即得：
\(a^{p-1}≡1\pmod p\)
