差分约束

我是摇摆哥！老刷三狼干什么！

对于形如 \(a_{v} \le a_{u} + w\) 的多组不等式，如何求解？

很明显，这是一个三角不等式。即，如果 \(a_{x}\) 为 \(x\) 到源点的最小值，该式一定成立。对于所有边一定不能再松弛任意一点。

所以考虑对于该式求最短路，\(u\) 到 \(v\) 有一条边权为 \(w\) 的边。建造一个超级源点 \(0\)，向所有点连一条边权为 \(1\) 的边，如果有负环就无解，否则即可得到正整数解。

同样的，如果将式子变为 \(a_{v} - w\le a_{u}\)，\(v\) 到 \(u\) 有一条边权为 \(-w\) 的边然后同上述技巧建图，跑最长路即可。

如何求最大值最小的正整数解？（\(a_{n}-a_{0}\) 最小）

找了好久，这个感觉网上清晰的介绍不太多啊。

对于任意一条从 \(0\) 到 \(n\) 的路径，经过的点为 \(c_{i}\)，我们都要满足以下条件。

\[\begin{aligned} a_{c_{1}} &\le a_{0} + w_{0,c_{1}}\\ a_{c_{2}} &\le a_{c_{1}} + w_{c_{1},c_{2}}\\ &\cdots\\ a_{n} &\le a_{c_{n-1}} + w_{c_{n-1},c_{n}}\\ \end{aligned} \]

或

\[\begin{aligned} a_{c_{1}} &\ge a_{0} - w_{0,c_{1}}\\ a_{c_{2}} &\ge a_{c_{1]}} - w_{c_{1},c_{2}}\\ &\cdots\\ a_{c_{n}} &\ge a_{c_{n-1]}} - w_{c_{n-1},c_{n}}\\ \end{aligned} \]

如果是最长路，我们取得是所有路径中最长的一条，因为我们对于每一条上述路径，都要满足 \(a_{n} \ge (\sum_{i=1}^{n} (-w_{i-1,i}))\)，所以取最长路，这是在处理性质。由于是 \(\ge\)，所以满足条件要大于等于 \((\sum_{i=1}^{n} (-w_{i-1,i}))\) 的最大值，正好是最长路求得的值，所以我们紧贴限制的下界，自然就是最小值。

如果我们是最短路，那么我们取就是的所有这个路径的最小 \(\sum_{i=1}^{n} w_{i-1,i}\)，但是实际上我们取的是在满足 \(a_{v} \le a_{u} + w\) 这个式子的情况下的最大值。重新梳理一遍，为了满足 \(a_{v} \le a_{u} + w\)，所以需要跑最短路，求出来的答案是最短路，并且求出的答案不能在变大了，否则不满足 \(a_{v} \le a_{u} + w\) 的限制，由于是 \(a_{v} \le a_{u} + w\)，所以我们的 \(a_{v}\) 实际上可以变得更小，但我们此时取得是 \(a_{u}+w\)，相当于取了符合限制的最大值。