UVA 10003 Cutting Sticks

题意：在给出的n个结点处切断木棍，并且在切断木棍时木棍有多长就花费多长的代价，将所有结点切断，并且使代价最小。

思路：设DP[i][j]为，从i,j点切开的木材，完成切割需要的cost，显然对于所有DP[i][i+1]=0，记w[i][j]为从i,j点切开的木材的长度，因此可以枚举切割点，dp[i][j]=min(dp[i][k]+dp[k][j])+w[i][j]，k就是枚举的切割点.

AC代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int SIZEN=55;
const int INF=1<<30;
int x[SIZEN];
int dp[SIZEN][SIZEN];
int w[SIZEN][SIZEN];
void init()
{
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
}
int dfs(int l,int r)
{
    if(dp[l][r]!=-1) 
        return dp[l][r];
    int ans=INF;
    for(int i=l+1; i<r; i++)
    {
        ans=min(ans,dfs(l,i)+dfs(i,r));
    }
    dp[l][r]=ans+w[l][r];
    return dp[l][r];
}
void solve(int len)
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    init();
    for(int i=1; i<=n; i++) 
        scanf("%d",&x[i]);
    x[0]=0;
    x[n+1]=len;
    for(int i=0; i<=n; i++)
        for(int j=i; j<=n+1; j++)
            w[i][j]=x[j]-x[i];
    for(int i=0; i<=n; i++) 
        dp[i][i+1]=0;
    int ans=dfs(0,n+1);
    printf("The minimum cutting is %d.\n",ans);
}
int main()
{
    int len;
    while(scanf("%d",&len)!=EOF&&len)
        solve(len);
}

这道题涉及到一个知识点：区间DP：（转自calmound）

区间动态规划问题一般都是考虑，对于每段区间，他们的最优值都是由几段更小区间的最优值得到，是分治思想的一种应用，将一个区间问题不断划分为更小的区间直至一个元素组成的区间，枚举他们的组合 ，求合并后的最优值。
设F[i,j]（1<=i<=j<=n）表示区间[i,j]内的数字相加的最小代价
最小区间F[i,i]=0（一个数字无法合并，∴代价为0）

每次用变量k（i<=k<=j-1）将区间分为[i,k]和[k+1,j]两段
For p:=1 to n do // p是区间长度，作为阶段。 
for i:=1 to n do // i是穷举的区间的起点
begin
j:=i+p-1; // j是 区间的终点，这样所有的区间就穷举完毕
if j>n then break; // 这个if很关键。
for k:= i to j-1 do // 状态转移，去推出 f[i,j]
f[i , j]= max{f[ i,k]+ f[k+1,j]+ w[i,j] } 
end; 
这个结构必须记好，这是区间动态规划的代码结构。

下面是关于该题的一个优化代码（四边形优化），我还没搞懂，先贴出来吧：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int SIZEN=55;
const int INF=1<<30;
int x[SIZEN];
int dp[SIZEN][SIZEN];
int w[SIZEN][SIZEN];
int s[SIZEN][SIZEN];
//dp[i][j]=min(dp[i][k]+dp[k][j])+w[i][j]
void init(){
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
}
void work(int n){
    for(int i=0;i<=n;i++) dp[i][i+1]=0;
    for(int i=0;i<=n;i++) s[i][i+1]=i;
    for(int l=3;l<=n+2;l++){
        for(int i=0;i+l-1<=n+1;i++){
            int j=i+l-1;
            dp[i][j]=INF;
            for(int k=s[i][j-1];k<=s[i+1][j];k++){
                int tmp=dp[i][k]+dp[k][j];
                if(dp[i][j]>tmp){
                    dp[i][j]=tmp;
                    s[i][j]=k;
                }
            }
            dp[i][j]+=w[i][j];
        }
    }
}
void solve(int len){
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&x[i]);
    x[0]=0;x[n+1]=len;
    for(int i=0;i<=n;i++)
        for(int j=i;j<=n+1;j++)
        w[i][j]=x[j]-x[i];
    work(n);
    /*for(int i=0;i<=n+1;i++){
        for(int j=i+1;j<=n+1;j++) printf("%d ",dp[i][j]);
        printf("\n");
    }
    for(int i=0;i<=n+1;i++){
        for(int j=i+1;j<=n+1;j++)
            printf("%d ",s[i][j]);
        printf("\n");
    }*/
    printf("The minimum cutting is %d.\n",dp[0][n+1]);
}
int main()
{
    int len;
    while(scanf("%d",&len)!=EOF&&len)
        solve(len);
}

本篇博文并非出自本人之手，只是做个总结，感谢ACalvin男神的帮助。