The 3rd Universal Cup. Stage 8: Cangqian

1|0C. Challenge NPC

考虑构造一个二分图，左边是 $1,3,5,7$ 右侧是 $2,4,6,8$ 。最优解肯定是一边全 1，一边全 2。

如果 $1,2$ 之间不连边，这 $2$ 就会被染色为 1，因此只要让 $2,3$ 连边， $3$ 会被染色为 $2$ ，然后 $1,4$ 连边， $4$ 也会被染色为 $5$ ，这时只要让 $2,5$ 和 $4,5$ 连边， $5$ 就会被染色为 $3$ 。可以以此类推下去，这样左右的颜色都会依次是 $1,2,3,4,\dots$ ，因此只要让左右两侧都有 $k+2$ 个点就好了

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

using i32 = int32_t;
using i64 = long long;

i32 main() {
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(nullptr);
    int k;
    cin >> k;
    int n = (k + 2) * 2, m = n * (n - 2) / 4, c = 2;
    cout << n << " " << m << " " << c << "\n";
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cout << i % 2 + 1 << " ";
    cout << "\n";
    for (int i = 1, t; i <= n; i++) {
        t = i + 2;
        if (i & 1) t++;
        else t--;
        for (; t <= n; t += 2)
            cout << i << " " << t << "\n";
    }
    return 0;
}

2|0E. Team Arrangement

假设我们知道分组的方案后，我们把组按照大小排序，然后贪心的选择 $r$ 较小的即可。

然后考虑如果得到分组方案，因为 $n$ 最大只有 $60$ ，所以直接暴搜枚举出来就好了。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

using i32 = int32_t;
using i64 = long long;

#define int i64

using vi = vector<int>;
using pii = pair<int, int>;

const int inf = LLONG_MAX / 2;


i32 main() {
    int n;
    cin >> n;
    vector<pii> a(n);
    for (auto &[l, r]: a)
        cin >> l >> r;
    ranges::sort(a);
    vi w(n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> w[i];

    int res = -inf;

    vi p;
    auto dfs = [&](auto &self, int m, int x) -> void {
        if (m == 0) {
            priority_queue<int, vi, greater<>> heap;
            int i = 0, ok = 1, sum = 0;
            for (auto pi: p) {
                while (i < n and a[i].first <= pi)
                    heap.push(a[i++].second);
                for (int j = 0; j < pi and ok; j++) {
                    if (not heap.empty() and heap.top() >= pi) heap.pop();
                    else ok = 0;
                }
                if (ok == 0) break;
                sum += w[pi];
            }
            if (ok) res = max(res, sum);
            return;
        }

        for (int y = x; y <= m; y++) {
            p.push_back(y);
            self(self, m - y, y);
            p.pop_back();
        }
    };

    dfs(dfs, n, 1);
    if (res == -inf) cout << "impossible\n";
    else cout << res << "\n";
    return 0;
}

3|0F. Stage: Agausscrab

签到题

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

using i32 = int32_t;
using i64 = long long;

const int mod = 1e9 + 7;

i32 main() {
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(nullptr);
    int n;
    cin >> n;
    vector<string> s(n);
    vector<int> a(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> s[i] >> a[i];
    }
    string res;
    for (int i = 0, r; i < n; i++) {
        r = 1;
        for (int j = 0; j < n and r <= s.size(); j++) {
            if (a[j] > a[i]) r++;
        }
        while (not s[i].empty() and r > 0)
            s[i].pop_back(), r--;
        res += s[i];
    }
    res[0] = res[0] - 'a' + 'A';
    cout << "Stage: " << res;
    return 0;
}

4|0J. Even or Odd Spanning Tree

首先，可以先求一个最小生成树出来。最小生成树一定是其中一个答案。

然后考虑另一个答案一定是最小生成树换一条边得到的。

下面简单的证明一下。

假设我们必须要换两条边，我们换之前的边是 $a,b$ 换之后的是 $x,y$ ，且 $a < b < x < y$

则换边后的权值变化了 $x + y - a - b$ 。

如果原始的边是一奇一偶，新边一定是同奇或同偶

如果原始的边是同奇或同偶，新边一定是一奇一偶

这样的话，一定可以保证只有一条边与原来的边奇偶不同，因此只换一条边也可满足奇偶变化。

现在这样的组合有 $a \rightarrow x , a \rightarrow y , b \rightarrow x , b \rightarrow y$

对于 $a\rightarrow x$ 权值的变化是 $x - a < x + y - a - b$ ，所以这种情况下换 $a \rightarrow x$ 更优

同理可以推出其他三种。

因此无论什么情况下，均匀换一条边更优的情况出现。

现在我们要考虑的就是选择那两条边。

考虑到，树上删掉任意一条边，均会对联通性发生改变，所以，新边一定和旧边在一个环上。

因此我们可以枚举所有不在最小生成树上的边，然后查找两个端点在树上路径中奇偶性不同且最大边一定是最优的。

查找最大边可以用 lca+树上倍增实现，复杂度 $O(\log n)$ ，所以整体的复杂度就是 $O(m\log n)$

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;


using i32 = int32_t;
using i64 = long long;

#define int i64

using edge = array<int, 3>;
using pii = pair<int, int>;
using vi = vector<int>;

const int inf = LLONG_MAX / 2;

class dsu {
private:
    vector<int> fa;
public:
    dsu(int n = 1) {
        fa = vector<int>(n + 1, -1), fa[0] = 0;
    }

    int getfa(int x) {
        if (fa[x] < 0) return x;
        return fa[x] = getfa(fa[x]);
    }

    void merge(int x, int y) {
        x = getfa(x), y = getfa(y);
        if (x == y) return;
        if (fa[x] > fa[y]) swap(x, y);
        fa[x] += fa[y], fa[y] = x;
    }

    bool same(int x, int y) {
        x = getfa(x), y = getfa(y);
        return (x == y);
    }
};

void solve() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    vector<edge> e(m);
    for (auto &[z, x, y]: e)
        cin >> x >> y >> z;


    ranges::sort(e);
    vector<vector<pii>> mst(n + 1);
    vector<edge> ne;
    dsu d(n);
    int sum = 0, cnt = 0;
    for (auto &[w, x, y]: e) {
        if (d.same(x, y)) ne.push_back({w, x, y});
        else {
            sum += w, d.merge(x, y), cnt++;
            mst[x].emplace_back(y, w);
            mst[y].emplace_back(x, w);
        }
    }
    if (cnt != n - 1) {
        cout << "-1 -1\n";
        return;
    }

    e = move(ne);
    int dn = 0, lg2N = log2(n);
    vector<int> dfn(n + 1), dep(n + 1);
    vector<vi> f(n + 1, vi(lg2N + 1));
    vector<vi> fa(n + 1, vi(lg2N + 1));
    vector edgeMax(2, vector(n + 1, vi(lg2N + 1)));

    for (int t = 0; t < 2; t++) {
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 0; j <= lg2N; j++) {
                if (edgeMax[t][i][j] == 0) continue;
                assert(edgeMax[t][i][j] % 2 == t);
            }
        }
    }

    auto dfs = [&](auto &&self, int x, int ff) -> void {
        f[dfn[x] = ++dn][0] = ff;
        for (auto [y, w]: mst[x]) {
            if (y == ff) continue;
            fa[y][0] = x, dep[y] = dep[x] + 1;
            edgeMax[w & 1][y][0] = w;
            self(self, y, x);
        }
    };

    auto get = [&](int x, int y) -> int {
        if (dfn[x] < dfn[y]) return x;
        return y;
    };

    auto lca = [&](int u, int v) -> int {
        if (u == v) return u;
        u = dfn[u], v = dfn[v];
        if (u > v) swap(u, v);
        int d = log2(v - u++);
        return get(f[u][d], f[v - (1 << d) + 1][d]);
    };

    dep[1] = 1;
    dfs(dfs, 1, 0);
    for (int i = 1; i <= lg2N; i++)
        for (int j = 1; j + (1 << i) - 1 <= n; j++)
            f[j][i] = get(f[j][i - 1], f[j + (1 << i - 1)][i - 1]);


    for (int i = 1; i <= lg2N; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            fa[j][i] = fa[fa[j][i - 1]][i - 1];
            for (int t = 0; t < 2; t++)
                edgeMax[t][j][i] = max(edgeMax[t][j][i - 1], edgeMax[t][fa[j][i - 1]][i - 1]);
        }


    auto query = [&](int w, int x, int y) -> int {
        int z = lca(x, y), res = -1;
        for (int i = lg2N; i >= 0 and x != z; i--) {
            if (dep[fa[x][i]] < dep[z]) continue;
            res = max(res, edgeMax[w][x][i]);
            x = fa[x][i];
        }
        for (int i = lg2N; i >= 0 and y != z; i--) {
            if (dep[fa[y][i]] < dep[z]) continue;
            res = max(res, edgeMax[w][y][i]);
            y = fa[y][i];
        }
        return res;
    };

    int res = inf;
    for (auto [w, x, y]: e) {
        auto t = query((w % 2) ^ 1, x, y);
        if (t <= 0) continue;
        res = min(res, sum - t + w);
    }

    if (res == inf) res = -1;
    if (sum & 1) cout << res << " " << sum << "\n";
    else cout << sum << " " << res << "\n";
    return;
}

i32 main() {
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(nullptr);
    int T;
    cin >> T;
    while (T--)
        solve();
    return 0;
}

5|0M. Triangles

一个比较有意思的数学题。

首先要打表找规律，在不删除线的情况下，三角形的数目是 $\frac{n(n + 2 )(2n + 1)}{8}$

然后考虑删掉横线在哪些三角形里面。

我们考虑顶点在上的情况。

我们可以枚举出底边的左端点 $i$ 和长度 $x$ ，枚举左端点 $[1,b]$ 范围内。

然后右端点自然就是 $i+x$ ，那么 $i+x$ 要满足 $b + 1 \le i+x \le a$

在考虑顶点，顶点是在行，那么 $0\le a-x \le a - 1$

因此联立两个方程，可得 $\max(1, b - i + 1 ) \le x \le \min(a , a-i + 1)$ ;

考虑顶点在下的情况，我们枚举右端点 $i$ 长度 $x$ ，类比可得到 $\max ( 1 , i - b )\le x \le \min(n - a, i - 1)$

满足上述条件的 $x$ 均成立，因此我们可以 $O(1)$ 的计算出每个 $i$ 的贡献

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

using i32 = int32_t;
using i64 = long long;

i32 main() {
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(nullptr);
    i64 n, a, b;
    cin >> n >> a >> b;
    i64 sum = n * (n + 2) * (2 * n + 1) / 8;
    for (i64 i = 1; i <= b; i++) {
        i64 l = max(1ll, b - i + 1), r = min(a, a - i + 1);
        if (l <= r) sum -= r - l + 1;
    }
    for (i64 i = b + 1; i <= a + 1; i++) {
        i64 l = max(1ll, i - b), r = min(n - a, i - 1);
        if (l <= r) sum -= r - l + 1;
    }
    cout << sum;
    return 0;
}