HDU 1729 Stone Game

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/34655/C

有 \(n\) 个箱子，第\(i\)个箱子最多放 \(s_i\)个石子，当前箱子里的石子数为 \(c_i\)。两个人轮流往箱子里放石子，而且每一次放的数量都有限制：不能超过当前箱子内石子数的平方。例如箱子里有 \(3\) 颗石子，那么下一个人就可以放\(1-9\) 颗石子，直到箱子被装满。当有一方放不下石子时游戏结束，最后放不下石子的人输。问先手是否能获胜。

常规思路肯定是枚举，然后求出SG函数在异或。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;


using i32 = int32_t;
using i64 = long long;

using vi = vector<int>;

int mex(vi a) {
    ranges::sort(a);
    auto [ret, lst] = ranges::unique(a);
    a.erase(ret, lst);
    for (int i = 0; i < a.size(); i++)
        if (a[i] != i) return i;
    return a.size();
}

vi g;
int s;

int sg(int x) {
    if (g[x] != -1) return g[x];
    vi a;
    for (int i = 1, X; i <= x * x and i + x <= s; i++)
        a.push_back(sg(x + i));
    return g[x] = mex(a);
}

i32 main() {
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(nullptr);

    int n, res = 0;
    cin >> n;
    for (int i = 1, c; i <= n; i++) {
        cin >> s >> c;
        g = vi(s + 1, -1);
        res ^= sg(c);
    }
    if (res != 0) cout << "Yes\n";
    else cout << "No\n";
    return 0;
}

但是这个思路会T，我们考虑些优化。

首先对于当前状态\((s,c)\)。我们求出最大的\(p\)满足\(p + p ^ 2 < s\)，这样的话\((p + 1) + (p + 1) ^ 2 \ge s\)。然后我们考虑\(p\)和\(c\)的关系。

如果\(c > p\)，此时先手可以一步放满，因此必胜。

如果\(c = p\)，此时先手无法一步放满，后手则可以一步放满，因为先手至少放\(1\)，则后手至少可以到达。

如果\(c < p\)，状态未知，但是当前状态已知的是谁到\(p\)谁就会输，所以可以递归的查找\((p,c)\)的 SG 函数

而对于\(c>p\)的情况，我们就要打表找规律，找到\((s,c)\)的 SG 函数，这里的结论是\(s - c\)

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;


using i32 = int32_t;
using i64 = long long;

using vi = vector<int>;

int sg(int s, int c) {
    assert(s >= c);
    int p = sqrt(s);
    while(p + p * p >= s) p --;
    if (c > p) return s - c;
    if (c == p) return 0;
    return sg(p, c);
}

i32 main() {
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(nullptr);
    int n, res = 0;
    cin >> n;
    for (int i = 1, s, c; i <= n; i++) {
        cin >> s >> c;
        res ^= sg(s, c);
    }
    if (res != 0) cout << "Yes\n";
    else cout << "No\n";
    return 0;
}