牛客竞赛动态规划专题班数位dp例题

1|0A - 0的个数

这题算是一个思维题。

我的做法是就是统计每一位的 0 有多少个。

例如 $4032$

个位的零有 $403$ 种
十位的零有 $40*10$ 种
百位的零有 $3*100 + 33$ 种，即千位去 $[1,3]$ 个位低两位取 $[00,99]$ ，或者千位取 $4$ 低两位取 $[00,33]$
千位不能取零

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

using i32 = int32_t;
using i64 = int64_t;

#define int i64

using vi = vector<i64>;
using pii = pair<i64, i64>;

const i64 mod = 1e9 + 7;
const i64 inf = 1e18;

int calc(int x) {
    if (x < 0) return 0;
    int ans = 1;
    for (int p = 1, y = 0; x > 0; p *= 10) {
        ans += (x / 10 - 1) * p;
        if (x % 10 > 0) ans += p;
        else ans += y + 1;
        y += (x % 10) * p, x /= 10;
    }
    return ans;
}

i32 main() {
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(nullptr);
    int l, r;
    while (true) {
        cin >> l >> r;
        if (l < 0 and r < 0) break;
        cout << calc(r) - calc(l - 1) << "\n";
    }
    return 0;
}

2|0B - 送分了QAQ

首先我们们要把数字分成若干位。

然后我们设计状态 $f[i][st]$ 从最高位到第 $i$ 位数对应情况为 $st$ ，且剩下 $i-1$ 位任取，符合条件的数（包含 $38$ 或包含 $4$ ）的个数。

$st=0$ 表示前 $i$ 位即没有 $4$ 也没有 $38$
$st=1$ 表示前 $i$ 位即没有 $4$ 也没有 $38$ ，但第 $i$ 是 $3$
$st=2$ 表示前 $i$ 位包含 $4$ 或 $38$

然后我们在维护一个变量 $flag$ 表示前 $i-1$ 位是否和原数相同，为什么要有这个呢？如果前 $i-1$ 位都相同，则当前位的取值只能为 $[0,a[i]]$ ，如果不是则可以取到 $[0,9]$

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

using i32 = int32_t;
using i64 = int64_t;

#define int i64

using vi = vector<int>;

vi a(20);

vector f( 20 , vi(3 , -1));


int dp(int pos, int st, bool flag) {
    if (pos == 0) return st == 2;
    if (flag and f[pos][st] != -1) return f[pos][st];
    int x = flag ? 9 : a[pos];
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i <= x; i++) {
        if (i == 4 or st == 2 or (st == 1 and i == 8))
            ans += dp(pos - 1, 2, flag or i < x);
        else if (i == 3)
            ans += dp(pos - 1, 1, flag or i < x);
        else
            ans += dp(pos - 1, 0, flag or i < x);
    }
    if (flag) f[pos][st] = ans;
    return ans;
}

int calc(int x) {
    if( x <= 0 ) return 0;
    fill(a.begin(), a.end(), 0);
    int pos = 0;
    while (x) a[++pos] = x % 10, x /= 10;
    return dp(pos, 0, 0);
}

i32 main() {
    int l, r;
    while (true) {
        cin >> l >> r;
        if (l == 0 and r == 0) break;
        cout << calc(r) - calc(l - 1) << "\n";
    }
    return 0;
}

3|0C - 诡异数字

状态 $f[pos][x][num]$ 表示从最高位到第 $pos$ 位，且第 $pos$ 位是 $x$ ，并且 $x$ 已经出现了 $num$ 次有多少种数字。

然后计算出当前位可以枚举的最大值，然后枚举当前位。

如果枚举的当前位为 $x$ 就检查是是否超出相关的限制。

然后递归求解就好。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

using i32 = int32_t;
using i64 = int64_t;


using vi = vector<i64>;
using pii = pair<i64, i64>;
#define int i64

const i64 inf = 1e18;
const i64 mod = 20020219;

vi limit, a(20);
vector f(20, vector(10, vi(20, -1)));

int dp(int pos, int x, int num, bool flag) {
    if (pos == 0) return 1;
    if (flag and f[pos][x][num] != -1) return f[pos][x][num];
    int n = flag ? 9 : a[pos];
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        if (i == x) {
            if (num + 1 > limit[x]) continue;
            ans = (ans + dp(pos - 1, x, num + 1, flag or i < n)) % mod;
        } else {
            ans = (ans + dp(pos - 1, i, 1, flag or i < n)) % mod;
        }
    }
    if (flag) f[pos][x][num] = ans;
    return ans;
}

int calc(int x) {
    if (x < 0) return 0;

    a.clear();
    int pos = 0;
    while (x) a[++pos] = x % 10, x /= 10;
    return dp(pos, 0, 0, false);
}

void solve() {
    f = vector(20, vector(10, vi(20, -1)));
    int l, r, n;
    cin >> l >> r >> n;
    limit = vi(10, inf);
    for (int x, len; n; n--)
        cin >> x >> len, limit[x] = min(limit[x], len);
    cout << (calc(r) - calc(l - 1) + mod ) % mod<< "\n";
    return;
}

i32 main() {
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(nullptr);
    int T;
    for (cin >> T; T; T--)
        solve();

    return 0;
}

4|0D - 7的意志

首先序列中所有的数一定都是 $7$ 的倍数，所以题目要求实际上就是求多少个数是七的倍数且数位之和也是七的倍数。

所以设状态为 $dp[pos][x][y]$ 前 $pos$ 位摸 $7$ 余 $x$ ，且数位和模 $7$ 余 $y$ 复合条件的数有多少个。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

using i32 = int32_t;
using i64 = int64_t;


using vi = vector<i64>;
using pii = pair<i64, i64>;

#define int i64

vi a(20);
vector f(20, vector(7, vi(7, -1)));

int dp(int pos, int x, int y, bool flag) {
    if (pos == 0) return x == 0 and y == 0;
    if (flag and f[pos][x][y] != -1) return f[pos][x][y];
    int ans = 0;
    int n = flag ? 9 : a[pos];
    for (int i = 0; i <= n; i++)
        ans += dp(pos - 1, (x * 10 + i) % 7, (y + i) % 7, flag or i < n);
    if (flag) f[pos][x][y] = ans;
    return ans;
}

int calc(int x) {
    int pos = 0;
    while (x) a[++pos] = x % 10, x /= 10;
    return dp(pos, 0, 0, false);
}

i32 main() {
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(nullptr);
    for (int l, r; true;) {
        cin >> l >> r;
        if (l == 0 and r == 0) break;
        cout << calc(r) - calc(l - 1) << "\n";
    }
    return 0;
}

5|0E - Beautiful Numbers

设状态为 $f[pos][x][mod][sum]$ 表示前 $pos$ 位模数为 $x$ 且位数模 $x$ 的值为 $mod$ ，位数之和为 $sum$

然后只要枚举 $x$ 从 $1$ 到 $12\times 9$ 即可。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

using i32 = int32_t;
using i64 = int64_t;

using vi = vector<i64>;
using pii = pair<i64, i64>;

#define int i64

vi a(15);
vector f(15, vector(120, vector(120, vi(120, -1))));

int dp(int pos, int x, int mod, int sum, bool flag) {
    if (pos == 0) return x == sum and mod % x == 0;
    if( flag and f[pos][x][mod][sum] != -1 ) return f[pos][x][mod][sum];
    int ans = 0;
    int n = flag ? 9 : a[pos];
    for (int i = 0, tmp; i <= n; i++) {
        tmp = (mod * 10 + i) % x;
        ans += dp(pos - 1, x, tmp, sum + i, flag or i < n);
    }
    if (flag) f[pos][x][mod][sum] = ans;
    return ans;
}

int calc(int x) {
    int pos = 0;
    while (x) a[++pos] = x % 10, x /= 10;
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= pos * 9; i++)
        ans += dp(pos, i, 0, 0, false);
    return ans;
}

i32 main() {
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(nullptr);
    int TC;
    cin >> TC;
    for (int n, i = 1; i <= TC; i++) {
        cin >> n;
        cout << "Case " << i << ": " << calc(n) << "\n";
    }
    return 0;
}

6|0

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

using i32 = int32_t;
using i64 = int64_t;
using vi = vector<i64>;

#define int i64

const int T = 2520;
vi a(20), p, q(T + 1);
vector<vector<vi>> f;

int dp(int pos, int mod, int d, bool flag) {
    if (pos == 0) return mod % p[d] == 0;
    if (flag and f[pos][mod][d] != -1) return f[pos][mod][d];
    int ans = 0, pd = p[d];
    int n = flag ? 9 : a[pos];
    for (int i = 0; i <= n; i++)
        ans += dp(pos - 1, (mod * 10 + i) % T, i ? q[lcm(pd, i)] : d, flag or i < n);
    if (flag) f[pos][mod][d] = ans;
    return ans;
}

int calc(int x) {
    int pos = 0;
    while (x) a[++pos] = x % 10, x /= 10;
    return dp(pos, 0, 0, false);
}


void init() {
    for (int i = 1; i <= T; i++)
        if (T % i == 0) q[i] = p.size(), p.push_back(i);
    f = vector(20, vector(2600, vi(50, -1)));
    return;
}

i32 main() {
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(nullptr);
    init();
    int TC;
    cin >> TC;
    for (int l, r; TC; TC--) {
        cin >> l >> r;
        cout << calc(r) - calc(l - 1) << "\n";
    }
    return 0;
}

7|0F - 美丽数

$f[pos][mod][d]$ 表示前 $pos$ 位的数模 $2520$ ，且前 $pos$ 位的数的 $lcm$ 为 $d$ 。

为什么是 $2520$ ，因为这是 $[0,9]$ 任取的 $lcm$ 的最大值。

看起来值域很大，但是实际上的数只有不到 50 个，离散化一下就好了。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

using i32 = int32_t;
using i64 = int64_t;
using vi = vector<i64>;

#define int i64

const int T = 2520;
vi a(20), p, q(T + 1);
vector<vector<vi>> f;

int dp(int pos, int mod, int d, bool flag) {
    if (pos == 0) return mod % p[d] == 0;
    if (flag and f[pos][mod][d] != -1) return f[pos][mod][d];
    int ans = 0, pd = p[d];
    int n = flag ? 9 : a[pos];
    for (int i = 0; i <= n; i++)
        ans += dp(pos - 1, (mod * 10 + i) % T, i ? q[lcm(pd, i)] : d, flag or i < n);
    if (flag) f[pos][mod][d] = ans;
    return ans;
}

int calc(int x) {
    int pos = 0;
    while (x) a[++pos] = x % 10, x /= 10;
    return dp(pos, 0, 0, false);
}


void init() {
    for (int i = 1; i <= T; i++)
        if (T % i == 0) q[i] = p.size(), p.push_back(i);
    f = vector(20, vector(2600, vi(50, -1)));
    return;
}

i32 main() {
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(nullptr);
    init();
    int TC;
    cin >> TC;
    for (int l, r; TC; TC--) {
        cin >> l >> r;
        cout << calc(r) - calc(l - 1) << "\n";
    }
    return 0;
}