2019 山东省大学生程序设计竞赛

A. Calandar

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define int long long
#define mp make_pair
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<string,int> psi;


int res = LLONG_MIN;
map<string,int> cc;
map<int,string> tt;

void solve() {
    int ya , ma , da;
    string s;
    cin >> ya >> ma >> da >> s;
    int yb ,mb,db;
    cin >> yb >> mb >> db;
    int cnt = (yb*12 + mb)*30 + db;
    cnt -= (ya * 12 + ma) * 30 + da;

    int t =  cc[s];
    t = ( t + cnt );
    t = ( t % 5 + 5 ) % 5;
    cout << tt[t] << "\n";
}

int32_t main() {
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(nullptr);

    cc["Monday"] = 1;
    cc["Tuesday"] = 2;
    cc["Wednesday"] = 3;
    cc["Thursday"] = 4;
    cc["Friday"] = 0;

    tt[1] = "Monday";
    tt[2] = "Tuesday";
    tt[3] = "Wednesday";
    tt[4] = "Thursday";
    tt[0] = "Friday";



    int t;
    cin >> t;
    while (t--)
        solve();

    return 0;
}

B. Flipping Game

把初始状态和最终状态做异或，然后当做初始状态，此时最终状态是全0。然后我们发现其实 1 的位置对答案没有影响。这样的话我们的状态就不需要设计位置，只记录数量即可。

\(f[i][j]\)表示\(i\)次操作后剩\(j\)个1 的方案数。答案自然就是\(f[k][0]\)。考虑如何计算转移枚举\(l\)表示第次\(i\)操作操作了\(l\)个 0，\(m-l\)个 1，则\(i-1\)次操作后剩下\(x\)个 1，则有\(x+l-(m-l)=j,x=j-2l+m\)，所以状态的转移为

\[f[i][j]=\sum f[i-1][x] \times C_{n-x}^{l}\times C_x^{m-l} \]

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define int long long
const int mod = 998244353;
const int N = 105;
int fact[N], invFact[N];

int power(int x, int y) {
    int ans = 1;
    while (y) {
        if (y & 1) ans = ans * x % mod;
        x = x * x % mod, y >>= 1;
    }
    return ans;
}

int inv(int x) {
    return power(x, mod - 2);
}

int C(int x, int y) {
    return fact[x] * invFact[x - y] % mod * invFact[y] % mod;
}

void init() {
    fact[0] = 1, invFact[0] = inv(1);
    for (int i = 1; i < N; i++)
        fact[i] = fact[i - 1] * i % mod, invFact[i] = inv(fact[i]);
    return;
}


void solve() {
    int n, m, k, s0 = 0;
    string s1, s2;
    cin >> n >> k >> m >> s1 >> s2;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        s0 += s1[i] != s2[i];
    vector f(k + 1, vector(n + 1, 0));
    f[0][s0] = 1;
    for (int i = 1; i <= k; i++)
        for (int j = 0; j <= n; j++) // 第 i 次操作后有j 个 1 的方案数
            for (int l = 0, x; l <= m && l <= j ; l++) { // l
                x = j - 2 * l + m;
                if (x < 0 || x > n) continue;
                if( n - x < l || x < m - l ) continue;
                f[i][j] = (f[i][j] + f[i - 1][x] * C(n - x, l) % mod * C(x, m - l) % mod) % mod;
            }
    cout << f[k][0] << "\n";
}

int32_t main() {
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(nullptr);
    init();
    int t;
    cin >> t;
    while (t--)
        solve();
    return 0;
}

C. Wandering Robot

手推样例就可以发现，答案只能出现在第一轮操作和最后一轮操作中。每一轮操作可以移动的向量是相同的。我们可以推出第一轮移动过程中所有的点，然后用向量运算找到最后一轮的点，然后取最大值即可。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define int long long
#define mp make_pair
typedef pair<int, int> pii;
typedef pair<string, int> psi;


void solve() {
    int n, k;
    string s;
    cin >> n >> k >> s;
    int x = 0, y = 0;
    int res = 0;
    vector<pair<int, int>> t;
    for (auto i: s) {
        if (i == 'L') x--;
        else if (i == 'R') x++;
        else if (i == 'U') y++;
        else y--;
        res = max(res, abs(x) + abs(y));
        t.emplace_back(x, y);
    }
    for (auto [x, y]: t) {
        x += t.back().first * (k - 1), y += t.back().second * (k - 1);
        res = max(res, abs(x) + abs(y));
    }
    cout << res << "\n";
}

int32_t main() {
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(nullptr);
    int t;
    cin >> t;
    while (t--)
        solve();

    return 0;
}

D. Game on a Graph

可以发现的是，两个人的最优操作会导致两个人一定会吧图删成一棵树，所以我们判断图是否联通，然后再计算多少次可以删成树即可。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define int long long
#define mp make_pair
typedef pair<int, int> pii;
typedef pair<string, int> psi;

class dsu{
private:
    vector<int> fa;
public:
    dsu( int n = 1 ){
        fa = vector<int>( n+1 , -1 );
    }
    int getfa( int x ){
        if( fa[x] < 0 ) return x;
        return fa[x] = getfa( fa[x] );
    }
    void merge( int x , int y ){
        x = getfa(x) , y = getfa(y);
        if( x == y ) return ;
        if( fa[x] > fa[y] ) swap( x , y );
        fa[x] += fa[y] , fa[y] = x;
    }
    bool same( int x , int y ){
        x = getfa(x) , y = getfa(y);
        return ( x == y );
    }
};

void solve() {
    int k;
    string s;
    cin >> k >> s;
    int n , m ;
    cin >> n >> m;
    dsu d(n);
    for( int i = 1 , x , y ; i <= m ; i ++ )
        cin >> x >> y , d.merge(x ,y);
    for( int i = 1 ; i < n ; i ++ ){
        if( d.same( 0 , i ) ) continue;
        cout << (s.front()=='1')+1 << "\n";
        return;
    }
    int t = m - n + 2;
    t = (t - 1) % k;
    cout << (s[t]=='1') + 1 << "\n";
}

int32_t main() {
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(nullptr);
    int t;
    cin >> t;
    while (t--)
        solve();

    return 0;
}

E. BaoBao Loves Reading

对于第\(i\)次看的书\(a_i\)，统计出\(last[a_i]\)表示上一次看\(a_i\)的时间，记\(g[i]\)为\([last[a_i]+1,i-1]\)之间从书架拿书的次数。如果\(g[i]\ge k\)，说明第\(i\)看书必须从书架上取书。我们可以枚举\(k\)的值，统计出$g[i]\ge k $的数量就是答案，这个可以用桶加后缀和实现。

现在问题就落在了如何求\(g[i]\)，这个询问区间中元素种类的个数可以用树状数组维护元素最后出现的下标即可。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define int long long
int mod;

int power(int x, int y) {
    int ans = 1;
    while (y) {
        if (y & 1) ans = ans * x % mod;
        x = x * x % mod, y >>= 1;
    }
    return ans;
}

struct BinaryIndexedTree {
#define lowbit(x) ( x & -x )
    int n;
    vector<int> b;

    BinaryIndexedTree(int n) : n(n), b(n + 1) {};

    void add(int i, int y) {
        for (; i <= n; i += lowbit(i)) b[i] += y;
        return;
    }

    int calc(int i) {
        int sum = 0;
        for (; i; i -= lowbit(i)) sum += b[i];
        return sum;
    }

    int calc(int l, int r) {
        return calc(r) - calc(l - 1);
    }

};

void solve() {
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> f(n+1), last(n+1);
    BinaryIndexedTree bit(n);
    for (int i = 1, x; i <= n; i++) {
        cin >> x;
        if (last[x] == 0) f[n]++;
        else f[bit.calc(last[x]+1, i-1)]++, bit.add(last[x], -1);
        bit.add(i, 1), last[x] = i;
    }
    for( int i = n-1 ; i >= 1 ; i -- ) f[i] += f[i+1];
    for( int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) cout << f[i] << " \n"[i==n];
    return;
}

int32_t main() {
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(nullptr);
    int t;
    cin >> t;
    while (t--)
        solve();
    return 0;
}

F. Stones in the Bucket

最优解一定变成平均数。注意总和除 n 可能会产生余数，余数部分是必须用操作一删掉的。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define int long long
#define mp make_pair
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<string,int> psi;

void solve() {
    int n , k = 0;
    cin >> n;
    vector<int> a(n);
    for( auto & i : a )
        cin >> i , k += i;
    k /= n;
    int res = 0;
    for( auto i : a )
        if( i > k ) res += i - k;
    cout << res << "\n";
}

int32_t main() {
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(nullptr);

    int t;
    cin >> t;
    while (t--)
        solve();

    return 0;
}

H. Tokens on the Segments

首先 y 值是无用的。

做一个贪心，对于左端点相同的区间，选择右端点最小的。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define int long long

void solve() {
    int n;
    cin >> n;
    vector<pair<int, int>> e(n);
    for (auto &[l, r]: e)
        cin >> l >> r;
    sort(e.begin(), e.end());
    int l = 0, pos = 0, res = 0;
    priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> q;

    while (pos < n) {
        if (q.empty() && e[pos].first > l) l = e[pos].first;
        while (pos < n && e[pos].first <= l) q.push(e[pos].second), pos++;
        while (!q.empty() && q.top() < l) q.pop();
        if (!q.empty() && q.top() >= l) q.pop(), l++, res++;
    }
    while (!q.empty()) {
        if( q.top() >= l ) l ++ , res ++;
        q.pop();
    }
    cout << res << "\n";
}

int32_t main() {
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(nullptr);
    int t;
    cin >> t;
    while (t--)
        solve();
    return 0;
}

K. Happy Equation

打表知道\(a\)为奇数时，答案为\(1\)

考虑当\(a\)为偶数是，\(a=t2^k\),所以\(a^x=t^x2^{kx}\)。所以当\(kx>p\)时，\(a^x\equiv 0(\mod 2^p)\)

再来考虑\(x\)，首先当\(x<p\)时，可以直接暴力求解，当\(x>p\)时，只考虑\(x^a\equiv 0 (\mod 2^p)\)的情况。

此时\(x\)只能为偶数，令\(x=t2^k\),则\(x^a=t^a2^{ka}\)，解\(ka\ge p\)得\(k\ge \left \lceil \frac p a \right \rceil = k’\)，所以\(x\)至少为\(2^{k’}\),在\([0,2^p]\)中\(x\)的倍数有\(\frac{2^p}{2^{k’}}=2^{p-k’}\)，还要减去\([0,p-1]\)中的倍数。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define int long long
int mod;

int power(int x, int y) {
    int ans = 1;
    while (y) {
        if (y & 1) ans = ans * x % mod;
        x = x * x % mod, y >>= 1;
    }
    return ans;
}

void solve() {
    int a, p;
    cin >> a >> p;
    mod = (1 << p);

    if (a & 1) {
        cout << "1\n";
        return;
    }

    int res = 0;
    for (int i = 1; i < p; i++)
        res += power(a, i) == power(i, a);
    int k = (p + a - 1 ) / a;
    res += (1ll << (p - k)) - (p - 1) / ( 1ll << k );
    cout << res << "\n";
    return;
}

int32_t main() {
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(nullptr);
    int t;
    cin >> t;
    while (t--)
        solve();
    return 0;
}

L. Median

其实我们发现，不同的联通块之间不会产生任何影响，我们只需要考虑单个联通块内部，我们可以用搜索统计处每个点有多少个点一定比当前点小，多少个点一定比当前点大，只要数量没有超过半数，就一定存在合法的解。

但是要注意，题目可能会出现本身矛盾的情况，所以判断图中是否存在环这点用拓扑序求解就好了。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define int long long
#define mp make_pair
typedef pair<int, int> pii;
typedef pair<string, int> psi;

vector<int> vis;

void dfs(int x, const vector<vector<int>> &e) {
    for (int y: e[x]) {
        if (vis[y]) continue;
        vis[y] = 1, dfs(y, e);
    }
    return;
}

void solve() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    vector<vector<int>> e(n + 1), g(n + 1);
    vector<int> lower(n + 1), upper(n + 1);
    vector<int> inner(n + 1);
    for (int i = 1, x, y; i <= m; i++)
        cin >> x >> y, e[x].push_back(y), g[y].push_back(x), inner[y]++;

    int cnt = 0;
    queue<int> q;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        if (inner[i] == 0) q.push(i), cnt++;
    while (!q.empty()) {
        int x = q.front();
        q.pop();
        for (auto y: e[x]) {
            inner[y]--;
            if (inner[y] == 0)cnt++, q.push(y);
        }
    }
    if (cnt != n) {
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            cout << 0;
        cout << "\n";
        return;
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        vis = vector<int>(n + 1);
        dfs(i, e);
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            lower[i] += vis[j];
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        vis = vector<int>(n + 1);
        dfs(i, g);
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            upper[i] += vis[j];
    }


    for (int i = 1, T = n / 2; i <= n; i++) {
        if (lower[i] <= T and upper[i] <= T) cout << 1;
        else cout << 0;
    }
    cout << "\n";
    return;
}

int32_t main() {
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(nullptr);
    int t;
    cin >> t;
    while (t--)
        solve();
    return 0;
}

M. Sekiro

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define int long long
#define mp make_pair
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<string,int> psi;

void solve() {
    int n , k;
    cin >> n >> k;
    for( ; n > 1 && k ; k -- )
        n = ( n + 1 ) / 2 ;
    cout << n << "\n";
}

int32_t main() {
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(nullptr);

    int t;
    cin >> t;
    while (t--)
        solve();

    return 0;
}