普林斯顿微积分读本 第18章 积分的方法：第一部分
- 换元法（替代法）
- 分部积分法
18.1 代替法
例子1
\[\int x^2\cos x^3 \mathrm{d} x
\]
要求解这样的一个积分，可以从换元开始，首先使得\(t=x^3\),这样自然而然的就可以得到\(\cos x^3 = \ cos t\).但是并不能直接把\(\mathrm{d}x\) 变成\(\mathrm{d}t\).对t求导可以得到\(\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d} x^3}{\mathrm{d}x}=3x^2\).通过整理式子就可以得到\(\mathrm{d}x = \frac{1}{3x^2}\mathrm{d}t\).
这样的话，我们把上述等式代入到原式子中就可以得到
\[\int x^2\cos x^3 \mathrm{d} x=\int x^2 \cos t \frac{1}{3x^2} \mathrm{d}t=\frac{1}{3}\int \cos \mathrm{d} t = \frac{1}{3} \sin t + C = \frac{1}{3} \sin x^3 + C
\]
例子2
\[\int \frac{f'(x)}{f(x)}\mathrm{d}x=\ln|f(x)|+C
\]
证明很简单可以直接令\(t=f(x)\)重复例子1的过程即可
换元法和定积分
用换元法求定积分是有两种做法
- 先用换元法求出不定积分，然后在用牛顿莱布尼兹公式求解
- 在换元的过程中把定积分的上下届也换元，这样全程就可以直接计算换元后的情况
18.2 分部积分法
在乘积求导法则中，如果u,v是关于x的函数，则有
\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} (uv)= v\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} + u\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}
\]
重写方程得到
\[u\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} = \frac{d}{\mathrm{d}x}(uv)-v\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}
\]
两侧同时对x求积分得
\[\int u\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\mathrm{d}x = \int \frac{d}{\mathrm{d}x}(uv)\mathrm{d}x-\int v\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\mathrm{d}x\\
\int u \mathrm{d}v = uv -\int v \mathrm{d}u
\]
但是通常情况下我们更长用的式子是这个
\[\int u v'\mathrm{d}x = uv -\int v \mathrm{d}u
\]
