错排问题

错排问题是组合数学中的问题之一。考虑一个有\(n\)个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。\(n\)个元素的错排数记为\(D_n\)。 研究一个排列错排个数的问题，叫做错排问题或称为更列问题。

最早研究错排问题的是尼古拉·伯努利和欧拉，因此历史上也称为伯努利-欧拉的装错信封的问题。这个问题有许多具体的版本，如在写信时将\(n\)封信装到\(n\)个不同的信封里，有多少种全部装错信封的情况？又比如四人各写一张贺年卡互相赠送，有多少种赠送方法？自己写的贺年卡不能送给自己，所以也是典型的错排问题。

对于\(D_n\)，第一个元素不能在第一个位置上故有\(n-1\)种类情况。假设第一个元素在\(k\)的位置上，有两种情况

• 第\(k\)个元素在第一个上面，则此时的情况为\(n-2\)个元素的错排
• 第\(k\)个元素不在第一个上面，则此时的情况为剩下的\(n-1\)个元素的错排

所以我们得到了一个递推公式，\(D_n=(n-1)\times (D_{n-1}+D_{n-2}),(n > 2)\)

常见的几个值

\(D_{0}=0\)	\(D_{6}=265\)
\(D_{1}=0\)	\(D_{7}=1854\)
\(D_{2}=1\)	\(D_{8}=14833\)
\(D_{3}=2\)	\(D_{9}=133496\)
\(D_{4}=9\)	\(D_{10}=1334961\)
\(D_{5}=44\)	\(D_{11}=14684570\)