指数函数和三角函数相乘的函数的积分
在复习随机信号处理课程，做第三章《随机信号经过线性系统》的习题时，发现很多习题都需要求三角函数和指数函数乘积的积分，下面用三种方法来求类似积分。
问题描述：求\(S_1=\int e^{nx}{\rm sin}(mx)dx,S_2=\int e^{nx}{\rm cos}(mx)dx\)
方法1：(欧拉公式)
\[\begin{equation}
\begin{aligned}
S_1&=\int e^{nx}{\rm sin}(mx)dx=\frac{1}{2i}\int e^{nx}(e^{imx}-e^{-imx})dx\\
&=\frac{1}{2i} [\int e^{(n+im)x}-e^{(n-im)x}dx]=\frac{1}{2i}[\frac{1}{n+im}e^{(n+im)x}-\frac{1}{n-im}e^{(n-im)x}]\\
&=\frac{1}{2i}\lbrace \frac{1}{n+im}e^{nx}[{\rm cos}(mx)+i{\rm sin}(mx)]-\frac{1}{n-im}e^{nx}[{\rm cos}(mx)-i{\rm sin}(mx)]\rbrace\\
&=\frac{1}{2i}\lbrace (\frac{1}{n+im}-\frac{1}{n-im})e^{nx}{\rm cos}(mx)+i(\frac{1}{n+im}+\frac{1}{n-im})e^{nx}{\rm sin}(mx)\rbrace\\
&=\frac{1}{n^2+m^2}[ne^{nx}{\rm sin}(mx)-me^{nx}{\rm cos}(mx)]\\
&=\frac{\begin{vmatrix}(e^{nx})' & e^{nx}\\ [{\rm sin}(mx)]' & {\rm sin}(mx)\end{vmatrix}}{n^2+m^2}
\end{aligned}
\end{equation}\tag{1}
\]
\[\begin{equation}
\begin{aligned}
S_2&=\int e^{nx}{\rm cos}(mx)dx=\frac{1}{2}\int e^{nx}(e^{imx}+e^{-imx})dx\\
&=\frac{1}{2} [\int e^{(n+im)x}+e^{(n-im)x}dx]=\frac{1}{2}[\frac{1}{n+im}e^{(n+im)x}+\frac{1}{n-im}e^{(n-im)x}]\\
&=\frac{1}{2}\lbrace \frac{1}{n+im}e^{nx}[{\rm cos}(mx)+i{\rm sin}(mx)]+\frac{1}{n-im}e^{nx}[{\rm cos}(mx)-i{\rm sin}(mx)]\rbrace\\
&=\frac{1}{2}\lbrace (\frac{1}{n+im}+\frac{1}{n-im})e^{nx}{\rm cos}(mx)+i(\frac{1}{n+im}-\frac{1}{n-im})e^{nx}{\rm sin}(mx)\rbrace\\
&=\frac{1}{n^2+m^2}[ne^{nx}{\rm cos}(mx)+me^{nx}{\rm sin}(mx)]\\
&=\frac{\begin{vmatrix}(e^{nx})' & e^{nx}\\ [{\rm cos}(mx)]' & {\rm cos}(mx)\end{vmatrix}}{n^2+m^2}
\end{aligned}
\end{equation}\tag{2}
\]
方法2：代数求解
由
\[\begin{equation}
\begin{aligned}
\lbrace e^{nx}{\rm sin}(mx)\rbrace '&=ne^{nx}{\rm sin}(mx)+me^{nx}{\rm cos}(mx)\\
\lbrace e^{nx}{\rm cos}(mx)\rbrace '&=ne^{nx}{\rm cos}(mx)-me^{nx}{\rm sin}(mx)
\end{aligned}
\end{equation}\tag{3}
\]
对上式左右两边同时对\(x\)积分，可以得到
\[\begin{equation}
\begin{aligned}
e^{nx}{\rm sin}(mx)&=n\int e^{nx}{\rm sin}(mx)dx+m\int e^{nx}{\rm cos}(mx)dx=nS_1+mS_2\\
e^{nx}{\rm cos}(mx)&=n\int e^{nx}{\rm cos}(mx)dx-m\int e^{nx}{\rm sin}(mx)dx=nS_2-mS_1
\end{aligned}
\end{equation}\tag{4}
\]
联立(4)可以求解得到
\[\begin{equation}
\begin{aligned}
S_1&=\frac{\begin{vmatrix}(e^{nx})' & e^{nx}\\ [{\rm sin}(mx)]' & {\rm sin}(mx)\end{vmatrix}}{n^2+m^2}\\
S_2&=\frac{\begin{vmatrix}(e^{nx})' & e^{nx}\\ [{\rm cos}(mx)]' & {\rm cos}(mx)\end{vmatrix}}{n^2+m^2}
\end{aligned}
\end{equation}\tag{5}
\]
方法3：分部积分直接求解
\[\begin{equation}
\begin{aligned}
S_1&=\int e^{nx}{\rm sin}(mx)dx=\frac{1}{n}\int {\rm sin}(mx)d(e^{nx})\\
&=\frac{1}{n}{\rm sin}(mx)e^{nx}-\frac{1}{n}\int e^{nx}d[{\rm sin}(mx)]\\
&=\frac{1}{n}{\rm sin}(mx)e^{nx}-\frac{m}{n}\int e^{nx}{\rm cos}(mx)dx\\
&=\frac{1}{n}{\rm sin}(mx)e^{nx}-\frac{m}{n^2}\int {\rm cos}(mx)d(e^{nx})\\
&=\frac{1}{n}{\rm sin}(mx)e^{nx}-\frac{m}{n^2}{\rm cos}(mx)e^{nx}+\frac{m}{n^2}\int e^{nx}d[{\rm cos}(mx)]\\
&=\frac{1}{n}{\rm sin}(mx)e^{nx}-\frac{m}{n^2}{\rm cos}(mx)e^{nx}-\frac{m^2}{n^2}\int e^{nx}{\rm sin}(mx)dx\\
&=\frac{1}{n}{\rm sin}(mx)e^{nx}-\frac{m}{n^2}{\rm cos}(mx)e^{nx}-\frac{m^2}{n^2}S_1
\end{aligned}
\end{equation}\tag{6}
\]
从(6)可以得出\(S_1=\frac{\begin{vmatrix}(e^{nx})' & e^{nx}\\ [{\rm sin}(mx)]' & {\rm sin}(mx)\end{vmatrix}}{n^2+m^2}\)，同理可以求得\(S_2=\frac{\begin{vmatrix}(e^{nx})' & e^{nx}\\ [{\rm cos}(mx)]' & {\rm cos}(mx)\end{vmatrix}}{n^2+m^2}\)。
需要注意的是，在上面的积分求解过程中均省略了常数。
