相干信号的相关内容
信号的相关性是通过相关系数来衡量的，设有两个平稳信号\(s_i(t)\)和\(s_k(t)\)，则这两个信号的相关系数可以表示为
\[\rho_{ik}=\frac{{\rm E}[s_i(t)s_k^*(t)]}{\sqrt{{\rm E}[|s_i(t)|^2]{\rm E}[|s_k(t)|^2]}}\tag{1}
\]
由Schwartz不等式可以得到\(|\rho_{ik}|\leq 1\)，当且仅当\(s_i(t)=\alpha s_k(t)\)，即两个信号之间只差一个复常数时，取得等号，根据\(\rho_{ik}\)的值得到如下信号关系
\[\begin{cases}\rho_{ik}=0,[s_i(t),s_k(t)\text{相互独立}]\\ 0<|\rho_{ik}|<1,[s_i(t),s_k(t)\text{相关}]\\ |\rho_{ik}|=1,[s_i(t),s_k(t)\text{相干}]\end{cases}\tag{2}
\]
从上面的推导结果可以知道，当两个信号具有不同的多普勒频率时，不满足只差一个复常数的条件，因此在雷达系统中不同速度的目标信号是不相干的，目标与多径信号也是不相干的。不同多径信号可能是相干的，也可能是不相干的，视具体情况而定。比如在数字电视外辐射源雷达中，发射信号是类随机信号，因此若有两条多径的时延分别为\(\tau_1,\tau_2\)，且\(\tau_1\neq \tau_2\)时，则两条多径信号可以分别表示为\(s(t-\tau_1),s(t-\tau_2)\)，显然此时\({\rm E}[s(t-\tau_1)s^*(t-\tau_2)]=R(\tau_1-\tau_2)=0\)，即数字电视外源雷达中多径信号通常情况下是不相关的。若对单频发射信号来说，多径信号就是完全相干的，因为此时两条多径信号可以分别表示为\(e^{-i2\pi f_c \tau_1},e^{-i2\pi fc \tau_2}\)，显然这两个信号之间只差了一个复常数\(e^{-i2\pi f_c(\tau_1-\tau_2)}\)，满足相干信号的定义。对于目标信号来说，若两个目标的距离和速度都很接近时，这两个目标信号是相干的，相干信号会给角度估计带来问题，具体地，通常情况下，阵列接收信号可以表示为
\[\begin{equation}
\begin{aligned}
\boldsymbol{x}(t)&=\boldsymbol{A}(\boldsymbol{\theta})\boldsymbol{s}(t)+\boldsymbol{n}(t)\\
&=\begin{bmatrix}
&1,&1,&...,&1\\
&e^{-i2\pi d{\rm sin}(\theta_1)/\lambda},&e^{-i2\pi d{\rm sin}(\theta_2)/\lambda},&...,&e^{-i2\pi d{\rm sin}(\theta_{N})/\lambda}\\
&\vdots,&\vdots,&\vdots,&\vdots\\
&e^{-i2\pi (M-1)d{\rm sin}(\theta_1)/\lambda},&e^{-i2\pi (M-1)d{\rm sin}(\theta_2)/\lambda},&...,&e^{-i2\pi (M-1)d{\rm sin}(\theta_{N})/\lambda}
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}s_1(t)\\s_2(t)\\ \vdots\\ s_N(t)\end{bmatrix}+\boldsymbol{n}(t)
\end{aligned}
\end{equation}\tag{3}
\]
若上述信源均为相干信号，则可以进行如下代换\(s_1(t)=\alpha_1 s(t),s_2(t)=\alpha_2 s(t),...,s_N(t)=\alpha_N(t)\)，所以(3)可以进一步表示为
\[\begin{equation}
\begin{aligned}
\boldsymbol{x}(t)&=\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}s(t)+\boldsymbol{n}(t)\\
\end{aligned}
\end{equation}\tag{4}
\]
所以接收信号的协方差矩阵可以表示为
\[\boldsymbol{R}_x={\rm E}[\boldsymbol{x}(t)\boldsymbol{x}^H(t)]=\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}{\rm E}[s(t)s^H(t)]\boldsymbol{\alpha}^H\boldsymbol{A}^H+\sigma^2\boldsymbol{I}==P\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^H\boldsymbol{A}^H+\sigma^2\boldsymbol{I}\tag{5}
\]
在上面的表达式中\(P={\rm E}[s(t)s^H(t)]\)表示发射信号的功率，所以显然，此时\(\boldsymbol{R}_x\)的秩为1，这意味着信号子空间维数小于信源数，所以信号子空间"扩散"到了噪声子空间中，会对到达角估计结果产生极大的影响。
上面说明了相干信号对到达角估计的不良影响，不过在某些情况下利用信号之间的相干性却能对信号处理起到一定的帮助作用，下面进行说明。
除了时域和空域杂波抑制方法，子载波域方法是近年外源雷达中备受关注的杂波抑制方法之一。它利用了信号的OFDM结构，将信号转换到子载波域中进行处理，此时利用各多径信号在子载波域上的相关性可以进行很多有益的处理。具体地，说明如下：
第\(l\)个OFDM符号可以表示为
\[d_l(t)=\sum_{k=0}^{N_u-1} C_{l,k}e^{j2\pi f_k t}\tag{6}
\]
所以\({\rm DFT}[d_l(t)]=[C_{l,0},...,C_{l,k},...,C_{l,N_u-1}]^T\)。
因为
\[{\rm DFT}[c_i d_l(t-\tau_i^c)]=c_i[e^{-j2\pi f_0\tau_i^c}C_{l,0},...,e^{-j2\pi f_k\tau_i^c}C_{l,k},...,e^{-j2\pi f_{N_u-1}\tau_i^c}C_{l,N_u-1}]^T\tag{7}
\]
所以杂波信号在第\(l\)个OFDM的子载波上可以表示为
\[\boldsymbol{s}_c^{l}=[\sum_{i=0}^{M_c-1}c_i e^{-j2\pi f_0\tau_i^c}C_{l,0},...,\sum_{i=0}^{M_c-1}c_ie^{-j2\pi f_k\tau_i^c}C_{l,k},...,\sum_{i=0}^{M_c-1}c_ie^{-j2\pi f_{N_u-1}\tau_i^c}C_{l,N_u-1}]^T\tag{8}
\]
杂波信号在所有OFDM符号上的第\(k\)个子载波上可以表示为
\[\boldsymbol{s}_c^{(k)}=\sum_{i=0}^{M_c-1}c_i e^{-j2\pi f_k \tau_i^c}\bigodot[C_{0,k},...,C_{L-1,k}]^T\tag{9}
\]
因为
\[{\rm DFT}[\alpha_i d_l(t-\tau_i^t)e^{i2\pi f_{d,i}t}]\approx \alpha_i e^{i2\pi f_{d,i}(T_g+\tau_i^t)}e^{i2\pi f_{d,i}l T_e}[e^{-i2\pi f_0\tau_i^t}C_{l,0},...,e^{-i2\pi f_k\tau_i^t}C_{l,k},...,e^{-i2\pi f_{N_u-1}\tau_i^t}C_{l,N_u-1}]\tag{10}
\]
所以目标信号在第\(l\)个OFDM的子载波上可以表示为
\[\boldsymbol{s}_t^l=\sum_{i=0}^{M_t-1}\alpha_i e^{i2\pi f_{d,i}(T_g+\tau_i^t)}e^{i2\pi f_{d,i}l T_e}[e^{-i2\pi f_0\tau_i^t}C_{l,0},...,e^{-i2\pi f_k\tau_i^t}C_{l,k},...,e^{-i2\pi f_{N_u-1}\tau_i^t}C_{l,N_u-1}]\tag{11}
\]
目标信号在所有OFDM符号上的第\(k\)个子载波上可以表示为
\[\boldsymbol{s}_t^{(k)}=\sum_{i=0}^{M_t-1}\alpha_i e^{-i2\pi f_k\tau_i^t} e^{i2\pi f_{d,i}(T_g+\tau_i^t)}[C_{0,k},...,e^{i2\pi f_{d,i}l T_e}C_{l,k},...,e^{i2\pi f_{d,i}(L-1) T_e}C_{L-1,k}]^T\tag{12}
\]
综上，可以得到监测通道中第\(l\)个OFDM符号中的第\(k\)个子载波的调制数据\(Y_{l,k}\)可以表示为
\[Y_{l,k}=H_{l,k}C_{l,k}+\gamma_{l,k}C_{l,k}+N_{l,k}\tag{13}
\]
其中\(H_{l,k}=\sum_{i=0}^{M_c-1} c_i e^{-i2\pi f_k \tau_i^c},\gamma_{l,k}=\sum_{i=0}^{M_t-1}\alpha_i e^{-i2\pi f_k \tau_i^t}e^{i2\pi f_{d,i}(T_g+\tau_i^t)}e^{i2\pi f_{d,i}l T_e}\)。
从(9)可以看出所有杂波信号在每个子载波上面都是相干的，而目标回波因为多普勒频率引入了相位旋转，因此与杂波不相干。杂波在子载波域上的不相干，给杂波抑制带来非常多好处。比如在ECA算法中，我们需要利用参考信号加不同的时延和多普勒来构造杂波子空间，然后往杂波子空间上面投影，达到杂波抑制的目的。但是如果将接收信号转化到子载波域上，由(13)可知此时杂波在每个子载波上是完全相干的，所有杂波可以表示为子载波数据\(C_{l,k}\)的线性组合，所以显然\(\boldsymbol{C}_k=[C_{0,k},...,C_{L-1,k}]^T\)就是我们想要的杂波子空间，所以我们只需要将接收信号往它进行投影就能实现杂波抑制。这种方法显然可以极大地时间和空间复杂度。另外，如果从空域角度来看，杂波在子载波域上的相干性，使得所有杂波只占用一个空间自由度，这可以极大地提高空域杂波抑制处理的效果，比如分载波杂波抑制算法。
参考文献
[1] Liu Y , Yi J , Wan X , et al. Evaluation of Clutter Suppression in CP-OFDM-Based Passive Radar[J]. IEEE Sensors Journal, 2019, 19(14):5572-5586.
[2] Zhao Z, Wan X, Shao Q, et al. Multipath Clutter Rejection for Digital Radio Mondiale-based HF Passive Bistatic Radar with OFDM Waveform[J]. IET Radar Sonar and Navigation, 2012, 6(9): 867-872.
[3] 赵志欣，万显荣，邵启红，等. DRM无源雷达多径杂波的分载波空域抑制[J]. 华中科技大学学报（自然科学版）, 2012, 40(3): 13-17
