常用的排列组合公式
(1)下降阶乘幂和上升阶乘幂
下降阶乘幂和上升阶乘幂分别定义为
\[\begin{equation}
\begin{aligned}
n^{\underline{m}}=n(n-1)...(n-m+1)\\
n^{\overline{m}}=n(n+1)...(n+m-1)
\end{aligned}
\end{equation}\tag{1}
\]
显然两者与组合数之间存在如下关系
\[\begin{equation}
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}=\frac{n^{\underline{m}}}{m!}\\
\begin{pmatrix}n+m\\n\end{pmatrix}=\frac{n^{\overline{m}}}{n!}\\
\end{aligned}
\end{equation}\tag{2}
\]
(2)对称恒等式
\[\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n\\n-m\end{pmatrix}\tag{3}
\]
(3)吸收恒等式
\[\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}=\frac{n}{m}\begin{pmatrix}n-1\\m-1\end{pmatrix}\tag{4}
\]
证明:
\[\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}=\frac{n!}{m!(n-m)!}=\frac{n(n-1)!}{m(m-1)!(n-m)!}=\frac{n}{m}\begin{pmatrix}n-1\\m-1\end{pmatrix}\tag{5}
\]
(4)相伴恒等式
\[(n-m)\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}=n\begin{pmatrix}n-1\\m\end{pmatrix}\tag{6}
\]
证明:
\[(n-m)\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}=(n-m)\frac{n!}{m!(n-m)!}=\frac{n!}{m!(n-m-1)!}=n\begin{pmatrix}n-1\\m\end{pmatrix}\tag{7}
\]
(5)加法公式
\[\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n-1\\m-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n-1\\m\end{pmatrix}\tag{8}
\]
证明:
\[\begin{equation}
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}n-1\\m-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n-1\\m\end{pmatrix}&=\frac{(n-1)!}{(m-1)!(n-m)!}+\frac{(n-1)!}{m!(n-m-1)!}\\
&=\frac{m(n-1)!}{m!(n-m)!}+\frac{(n-m)(n-1)!}{m!(n-m)!}=\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}
\end{aligned}
\end{equation}\tag{9}
\]
(6)上指标求和
\[\sum_{i=m}^n \begin{pmatrix}i\\m\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n+1\\m+1\end{pmatrix}\tag{10}
\]
证明：
这个等式很难直接通过公式推导得到，不过可以从组合的含义出发去理解，假设有\(n+1\)个球，其编号为\(1-n\)，从中随机取出\(m+1\)个，则显然总的可能情况有\(\begin{pmatrix}n+1\\m+1\end{pmatrix}\)种。现在可以换一种理解，设取出的\(m+1\)个球中的最大编号为\(i\)，显然\(i \geq m\)，则其可能情况为\(\begin{pmatrix}i\\m\end{pmatrix}\)，所以总的情况数是\(i\)的可能取值对应的所有可能选择情况，至此得证。
(7)平行恒等式
\[\sum_{i=0}^n \begin{pmatrix}m+i\\i\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}m+n+1\\n\end{pmatrix}\tag{11}
\]
证明: 首先由对称恒等性质，可得\(\sum_{i=0}^n \begin{pmatrix}m+i\\i\end{pmatrix}=\sum_{i=0}^n \begin{pmatrix}m+i\\m\end{pmatrix}\)，对上式进行变量代换，即令\(j=m+i\)，可得\(\sum_{i=0}^n \begin{pmatrix}m+i\\m\end{pmatrix}=\sum_{j=m}^{n+m}\begin{pmatrix}j\\m\end{pmatrix}\)。由上指标求和性质可得\(\begin{pmatrix}m+n+1\\n\end{pmatrix}=\sum_{i=n}^{n+m} \begin{pmatrix}i\\n\end{pmatrix}\)，至此得证。
(8)上指标翻转
\[\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}=(-1)^m\begin{pmatrix}n-m-1\\m\end{pmatrix}\tag{12}
\]
证明:
\[\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}=\frac{n^{\underline{m}}}{m!}=\frac{n(n-1)...(n-m+1)}{m!}=(-1)^m\frac{(m-n-1)(m-n-2)...(-n)}{m!}=(-1)^m\frac{(n-m-1)^{\underline{m}}}{m!}=(-1)^m\begin{pmatrix}n-m-1\\m\end{pmatrix}
\]
(9)范德蒙卷积
\[\sum_{k=0}^n\begin{pmatrix}r\\k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}s\\n-k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r+s\\n\end{pmatrix}\tag{13}
\]
证明:
上式的证明同样可以用一个场景进行说明：设有男生\(r\)个，女生\(s\)个，现在要从这\(r+s\)个学生中间选出\(n\)个学生，则总的可能情况有\(\begin{pmatrix}r+s\\n\end{pmatrix}\)，同时问题可以看成从男生中选出\(k\)个，从女生中选出\(n-k\)个，每一种\(k\)对应的情况数为\(\begin{pmatrix}r\\k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}s\\n-k\end{pmatrix}\)，所以总的情况数为\(k\)的所有可能取值对应的所有可能情况的总和。
