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设采样点为\(y_n,n=1,...,N\)，这些采样点由目标信号\(m=Ae^{i\theta}\)和I/Q两路功率均为\(\sigma^2/2\)的高斯白噪声\(\omega_n\)组成，对应假设\(H_0\)和\(H_1\)下\(y_n\)的组成分别为：

\[H_0: y_n=\omega_n \\ H_1: y_n=m+\omega_n \]

设\(z_n=|y_n|\)，则对应假设\(H_0\)和\(H_1\)下\(z_n\)分别服从瑞利分布和莱斯分布，其概率密度函数可以表示为：

\[H_0: z_n=|\omega_n|, f(z_n|H_0)=\frac{2z_n}{\sigma^2}{\rm exp}(-\frac{z_n^2}{\sigma^2}),z_n \geq 0 \]

\[H_1: z_n=|m+\omega_n|, f(z_n|H_1)=\frac{2z_n}{\sigma^2}{\rm exp}(-\frac{z_n^2+A^2}{\sigma^2})I_0(\frac{2Az_n}{\sigma^2}),z_n \geq 0 \]

则\(N\)个采样点的联合概率密度函数可以表示为：

\[H_0: z_n=|\omega_n|,f(\boldsymbol{z}|H_0)=\prod_{n=0}^{N-1}{\frac{2z_n}{\sigma^2}{\rm exp}(-\frac{z_n^2}{\sigma^2})},z_n \geq 0 \]

\[H_1: z_n=|m+\omega_n|,f(\boldsymbol{z}|H_1)=\prod_{n=0}^{N-1}{\frac{2z_n}{\sigma^2}{\rm exp}(-\frac{z_n^2+A^2}{\sigma^2})I_0(\frac{2Az_n}{\sigma^2})},z_n \geq 0 \]

所以，此时似然比检验LRT可以表示为：

\[\Lambda=\frac{f(\boldsymbol{z}|H_1)}{f(\boldsymbol{z}|H_0)}={\rm exp}(-\frac{A^2}{\sigma^2})\prod_{n=0}^{N-1}{I_0(\frac{2Az_n}{\sigma^2})} \gtrless -\lambda \]

\[{\rm ln}(\Lambda)=-\frac{A^2}{\sigma^2}+\sum_{n=0}^{N-1}{{\rm ln}[I_0(\frac{2Az_n}{\sigma^2})]} \gtrless {\rm ln}(-\lambda)\rightarrow \sum_{n=0}^{N-1}{{\rm ln}[I_0(\frac{2Az_n}{\sigma^2})]} \gtrless {\rm ln}(-\lambda)+\frac{A^2}{\sigma^2}=T \]

在上面的表达式中\(I_0()\)是一阶修正贝塞尔函数，它满足如下所似情况:

\[I_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{(k!)^2}(\frac{x}{2})^{2k}}=1+\frac{x^2}{4}+\frac{x^4}{64}+... \]

当\(x\)较小时，\(I_0(x)\approx 1+\frac{x^2}{4}\)，对数函数有如下展开式：

\[{\rm ln}(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+... \]

所以

\[\sum_{n=0}^{N-1}{{\rm ln}[I_0(\frac{2Az_n}{\sigma^2})]} \approx \sum_{n=0}^{N-1}{\frac{A^2 z_n^2}{\sigma^4}} \]

所以，上面的LRT检验可以化简为：

\[\sum_{n=0}^{N-1}{\frac{A^2 z_n^2}{\sigma^4}} \gtrless T \rightarrow \Upsilon=\sum_{n=0}^{N-1}{z_n^2} \gtrless \frac{\sigma^4 T}{A^2}=T' \tag{1} \]

其中\(\Upsilon\)表示各个采样点包络*方和，是该检验的充分统计量。从\((1)\)可知，利用信号包络非相干积累并进行检测，其最佳检测器*似等于对信号包络*方求和进行检测，即*似于*方率检测，一般衡量一个检测器性能优劣的指标是检测概率和虚警概率，两者计算方法如下：

\[P_{FA}=\int_{T}^{\infty}{f(\Upsilon|H_0)}d{\Upsilon} \tag{2} \]

\[P_{D}=\int_{T}^{\infty}{f(\Upsilon|H_1)}d{\Upsilon} \tag{3} \]

上面的表达式可以这么理解：\(P_{FA}\)表示在没有目标的时候（\(H_0\)情况下）检测到了目标，即在没有目标的情况下，样本的充分统计\(\Upsilon\)超过了检测门限的情况，所以虚警概率是所有在\(H_0\)情况下\(\Upsilon\)超过检测门限的情况之和。\(P_{D}\)表示在有目标的时候（\(H_1\)情况下）成功检测出来,所以在有目标的情况样本的充分统计超过门限的所有情况即为检测概率。所以从上面的分析可知，求某个检测器的性能，首先需要确定检测门限，检测门限由似然比检测器求得，如\((1)\)所示，该检测器的检测门限为\(T'\)。然后需要确定样本的充分统计量，如\((1)\)所示，该检测器的充分统计为\(\Upsilon=\sum_{n=0}^{N-1}{z_n^2}\)。最后需要确定样本充分统计的概率密度函数。知道了上面几个条件就可以求得检测器的检测概率和虚警概率。现在不进行具体求解。
从\((2)\)可以看出,\(P_{FA}\)仅由干扰和噪声分布有关(仅与\(H_0\)情况下的信号分布有关)，所以对于起伏目标和非起伏目标来说，\(P_{FA}\)的最终表达式是一样的，可以推导得到高斯白噪声干扰下的*方率检波器的虚警概率为

\[P_{FA}=1-I(\frac{T}{\sqrt{N}},N-1) \\ I(\mu,M)=\int_{0}^{\mu\sqrt{M+1}}{\frac{e^{-\tau}\tau^M}{M!}}d\tau \]

可以得到虚警概率受检测门限和积累样本数的影响，当积累样本数为1时，对应的虚警概率为:

\[P_{FA}=e^{-T} \tag{4} \]

需要注意的是，在推导\((4)\)结果的过程中我们进行了如下变量代换：\(z_n^{'}=z_n/\sigma\)，其中\(z_n\)实际采样点的模值，\(z_n^{'}\)是为了计算方便得到的检波器的输出，对于没进行归一化的采样值\(z_n\)和*方率检波来说有\(P_{FA}=e^{-T/\sigma^2}\)，其中\(\sigma^2\)表示全部噪声功率(包括I通道和Q通道)。对于恒虚警检测来说，一般手动设置\(P_{FA}\)大小，根据\(P_{FA}=e^{-T/\sigma^2}\rightarrow T=-\sigma^2{\rm ln}P_{FA}\)可以获取检测门限。但是需要注意的是上面的公式在推导过程中用到了很多*似，实际情况下检测门限可以建模为\(T=\alpha\sigma^2\)，\(\alpha\)是一个需要后续确定的一个参数，它显然与设置的虚警概率有关，当然还可能与其他参数相关。所以准确估计信号中的噪声功率对于设置检测门限是至关重要的。
目前雷达系统通常是对距离多普勒谱上每个单元进行检测的，判断每个单元上是否存在目标。所以距离多普谱上每个单元的数据就构成了采样样本\(y_n\)，在处理过程中并没有利用多个RD谱上同一个单元的数据进行积累，所以属于单样本检测问题，所以可以不考虑目标起伏模型，把所有目标当成非起伏目标进行处理。在处理过程中同样假设数据只受高斯白噪声干扰，所以其虚警概率模型仍然可以表示为\(P_{FA}=e^{-T/\sigma^2}\)。现在有一个问题就是设置检测门限时需要知道采样样本中的噪声功率，这个功率是很难从单个样本(待检测单元)中获取得到的(很难对待检测单元进行信号分离，获取噪声信号)，所以需要利用其它单元对该噪声功率进行估计。此时对其他单元是有一定要求的:
(1)临*单元所含杂波的统计特性与待检测单元的一致；
(2)临*单元内不能包含目标。
高斯噪声背景下，距离多普勒谱上的检测单元服从指数分布，所以可以假设待检测单元\(x_i\)服从如下概率分布:

\[f(x_i)=\frac{1}{\sigma^2}{\rm exp}(-x_i/\sigma^2) \]

利用相邻\(N\)个单元上的数据进行噪声功率的估计，则这\(N\)个单元的联合概率密度可以表示为：

\[f(\boldsymbol{x})=\prod_{n=1}^{N}{\frac{1}{\sigma^2}{\rm exp}(-x_i/\sigma^2)}=\frac{1}{\sigma^2}{\rm exp}{[-(\sum_{i=1}^N{x_i})/\sigma^2]} \]

令\(\frac{\partial{\rm ln}[f(\boldsymbol(x))]}{\partial\sigma^2}=0\)，可以求得

\[\hat{\sigma}^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_i \]

所以门限可以通过下式进行估计

\[\hat{T}=\alpha\hat{\sigma}^2=\frac{\alpha}{N}\sum_{i=1}^{N}x_i \]

令\(z_i=\alpha x_i/N\)，则\(\hat{T}=\sum_{i=1}^{N}z_i\)，其中\(z_i\)是\(x_i\)的函数，现在需要利用\(x_i\)的概率密度函数求\(z_i\)的概率密度函数，这是求随机变量函数的概率密度函数的问题，可以直接得到\(z_i\)的概率密度函数为

\[f(z_i)=\frac{N}{\alpha\sigma^2}{\rm exp}(\frac{-Nz_i}{\alpha\sigma^2}) \]

\(\hat{T}=\sum_{i=1}^{N}z_i\)的概率密度函数直接求取比较不方便，可以利用分布的特征函数来间接求取\(\hat{T}\)的概率密度函数。这边不进行详细推导，直接给出其概率密度函数:

\[f(\hat{T})=(\frac{N}{\alpha\sigma^2})^N\frac{\hat{T}^{N-1}}{(N-1)!}e^{-N\hat{T}/\alpha\sigma^2} \]

根据估计的门限值\(\hat{T}\)算出来的虚警概率可以表示为\(P_{FA}=e^{-\hat{T}/\sigma^2}\)，所以\(P_{FA}\)的期望\(\bar{P}_{FA}\)可以表示为:

\[\bar{P}_{FA}=\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-N\hat{T}/\alpha\sigma^2}f(\hat{T})d\hat{T}}=(1+\alpha/N)^{-N} \]

在上面的求解过程中用到了随机变量函数的期望的求解方法。所以可以求解得到:

\[\alpha=N({\bar{P}_{FA}}^{-1/N}-1) \]

研究表明，对于Swerling1型目标的一个检测单元数据在给定门限\(\hat{T}\)下，检测概率可以表示为\(P_D={\rm exp}[-\hat{T}/(1+\chi)]\)，因为在距离多普勒谱上面进行目标检测，每次只包含一个检测样本，所以不存在目标起伏的问题，所以上面的结论也适用Swerling2类型目标，所以检测概率的数学期望可以表示为：

\[\bar{P}_D=\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-\hat{T}/(1+\chi)}f(\hat{T})d\hat{T}}=(1+\frac{\alpha}{N(1+\chi)})^{-N} \]

需要理解的是上面的结果是基于以下假设进行的，即I/Q通道的噪声均服从高斯分布，*方率检波器，Swerling1 或 Swerling2型目标，并且只有一个待检测单元的数据。
需要理解上面为什么计算检测概率和虚警概率的期望。可以看出这两者都是检测门限\(\hat{T}\)的函数，如果\(\hat{T}\)是确定的，那么\(P_D\)和\(P_{FA}\)也将是确定的，但是实际上\(\hat{T}\)是服从一定分布的，但是\(P_D\)和\(P_{FA}\)与\(\hat{T}\)的关系却是确定的，所以这样的问题，显然需要采用统计学的方法来解决。