CTFT DTFT DFT FFT等常见概念之间的关系

在自然界中我们接触到的信号都是模拟连续信号，所以对于信号处理首先都是从连续信号着手，只是因为后来计算机技术的不断发展，才需要对连续信号进行离散化以用于机器计算，因此在下面的分析和总结的过程中，也是遵循从模拟连续信号处理到离散数字信号的处理历程。

对于周期信号来说，可以对其进行傅里叶级数展开，具体地，设周期信号为\(x(t)\)，其周期为\(T_0\)，即\(x(t)=x(t+T_0)\)。则可对\(x(t)\)进行傅里叶级数展开：

\[x(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}{c_n {\rm exp}(in\omega_0 t)} \tag{1} \]

在上面的表示中\(\omega_0=2\pi/T_0\)表示周期对应的角频率。且傅里叶级数的系数\(c_n\)可以表示为

\[c_n=\frac{1}{T_0} \int_{0}^{T_0} {x(t) {\rm exp}(-in\omega_0 t) {\rm d}t} \tag{2} \]

即周期信号可以表示为一系列指数函数求和。\(|c_n|\)称为傅里叶级数的幅度谱，显然它表现为周期性的离散谱峰，谱峰位于基频\(\omega_0\)的整数倍频率上。所以时域上的周期性将引入频域上的周期分布的调制谱峰，这个结论在信号处理中常常会用到！！！！！

令周期信号的周期趋近于无穷大时，即可得到连续信号的傅里叶变换，具体可表示为

\[X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}{x(t) {\rm exp}(-i\omega t) {\rm d}t} \tag{3} \]

\[x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{X(\omega) {\rm exp}(i\omega t){\rm d}\omega} \tag{4} \]

\[X(f)=\int_{-\infty}^{\infty}{x(t) {\rm exp}(-i2\pi f t) {\rm d}t} \tag{5} \]

\[x(t)=\int_{-\infty}^{\infty}{X(f) {\rm exp}(i2\pi f t) {\rm d}t} \tag{6} \]

上面的处理都是针对连续信号的，而计算机只能处理离散信号，所以考虑对时域\(x(t)\)信号进行采样，得到采样序列\(x[n]\)，共采样\(N\)点，则此时\(x[n]\)的傅里叶变换可以表示为

\[X(\omega)=\sum_{n=0}^{N-1}{x[n]{\rm exp}(-i\omega n)} \tag{7} \]

\[x[n]=\sum_{n=0}^{N-1}{X[\omega]{\rm exp}(i\omega n)} \tag{8} \]

注意\((7)\)中其频率是以\(2\pi\)为周期的连续信号。所以上面的变换称为离散时间傅里叶变换DTFT,即它只在时域进行了离散，频率仍然是连续的。为了让计算机可以处理，需要在频域也进行离散采样，考虑到\(X(\omega)\)的周期是\(2\pi\)，只需要在\(0-2\pi\)的频率进行离散采样，由此得到离散傅里叶变换DFT

\[X[k]=\sum_{n=0}^{N-1}{x[n] {\rm exp}(-i2\pi k n/N)} \tag{9} \]

\[x[n]=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1}{X[k] {\rm exp}(i2\pi k n /N)} \tag{10} \]

此时信号在时域和频域上都是离散的，可以用电脑进行处理了，但是\((9)(10)\)的DFT定义式计算复杂度抬高，因此提出快速傅里叶变换算法FFT来计算DFT，因此DFT和FFT其实完全就是一个东西。

综上所示，DTFT是时域离散信号的傅里叶变换，其频域是周期连续的，对于在频域采样得到DFT，DFT在时域和频域都是离散的。