匹配滤波(脉冲压缩)的理解
如下图所示，不进行额外的信号处理的话，对于脉宽(时宽)为\(\tau\)的发射信号，当两个目标的回波信号时延差小于\(\tau\)时，两路回波将发生重叠，此时接收端没有办法从距离上对这两个目标进行区分，上述时延差对应到两个目标之间的距离为\(\Delta R=c\tau/2\),也就是说，距离差小于\(\Delta R\)的目标的回波将产生重叠，雷达无法区分距离差小于\(\Delta R\)的两个目标，因此雷达的距离分辨率即为\(\Delta R=c\tau/2\)。
从上面的分析可以知道雷达的距离分辨率是由波形脉宽决定的，脉宽越大，距离分辨率越差。对于简单调制脉冲(将常数调制到载波上)来说，脉宽(波形持续时间)同样决定了发射信号的能量，进而决定了雷达的探测距离，脉宽越大，探测距离越远。因此探测距离和距离分辨率是相互矛盾的。因此需要考虑通过雷达信号处理将二者进行解耦，脉冲压缩(匹配滤波)应运而生。
匹配滤波器是是输出信噪比最大的一种最优滤波器，它的一个前提条件就是白噪声背景。既然被称为滤波器，那它肯定存在频率响应，匹配滤波器的频率响应可以表示为\(H(f)=S^*(f)\)，即匹配滤波器的频率响应是输入信号频率响应的共轭，这其中隐含着一些比较深刻的物理含义，现解释如下:
a) 从幅频特性看，匹配滤波器和输入信号的幅频特性完全一样，也就是说，在信号越强的频点上，滤波器的放大倍数也越大，在信号越弱的频点上，滤波器放大倍数也越小。因为匹配滤波器的前提是白噪声背景，且功率谱是平坦的，在所有频点上都是一样的，因此匹配滤波器上述“遇强则强”的性质，本质上就是尽可能让信号通过，而减少噪声的通过，这样就达到了使输出信噪比最大的目的；
b) 从相频特性看，匹配滤波器和输入信号的相频特征相反，这样通过匹配滤波器其之后信号相位为0，可以实现时域上信号的同向叠加，而噪声的相位是随机的，只能实现非相干叠加，因此匹配滤波器在时域上也保证了输出信噪比最大。
匹配滤波器之所以称为匹配滤波器，是因为它是与特定输入信号匹配的，显然，匹配滤波器的作用和相关操作具有异曲同工之妙，因此两者必然存在某些特殊的联系。对信号进行匹配滤波的操作实际上就是让信号通过匹配滤波器，所以通过匹配滤波器之后的输出信号为：
上式是从频域的角度进行处理的，傅里叶变换的卷积性质，即频域相乘对应时域卷积，可以得到匹配滤波的时域表达式:
显然由\((2)\)可知，当\(t=0\)时，输出结果最大，即\(y(0)\)取得最大值，当输入信号存在一个时延\(\tau_0\)时，仍然通过上述匹配滤波器，则此时输出信号可以表示为
显然此时当\(t=\tau_0\)时，匹配滤波器输出最大\(y(\tau_0)\),也就是说，匹配滤波器的输出将在信号时延处出现峰值。这也就是利用匹配滤波进行目标距离探测的原理。
上面之所以花不小的篇幅对匹配滤波相关内容进行说明，是因为，脉冲压缩是通过匹配滤波来实现的，接下来就来聊一聊脉冲压缩。从一开始的时候我们就分析了雷达的探测威力和距离分辨率是一对相互矛盾的量，即要增加探测距离就必须提高脉冲宽度，而脉冲宽度越大，距离分辨率越差。所以一个很自然的想法就冒出来了：能不能在发射的时候发射宽脉冲，保证探测距离，而在接收的时候将脉冲进行压缩，让它变成窄脉冲，这样就能保证距离分辨率？这就是脉冲压缩产生的初始动因。而脉冲压缩的具体就是通过匹配滤波器来实现的。当然并不是所有发射波形都适合进行脉冲压缩处理，以下对一些常见波形的脉冲压缩结果进行分析，进而得出相关的结论。
如上图所示为简单脉冲波形的时域及频域示意图(简单脉冲波形是指将常数调制到载波上，相当于对载波加一个矩形窗)，由于调制信息相当于一个矩形窗，所以其频谱具有sinc函数的形式，只是中心频率移动到了载波频率处。从上图可以看出，对于脉宽为\(\tau\)的简单脉冲，其对应的频谱的瑞利带宽(主瓣峰值与第一个零点的频率间隔)为\(\beta=1/\tau\)，所以其时宽带宽积\(\beta\tau=1\)。从图2(b)可以看出，其主瓣宽度(正负第一个零点之间的频率间隔)为\(2/\tau {\rm Hz}\)，从这个频谱特性其实就可以看出来多普勒分辨率，显然当两个目标的多普勒频率相差小于\(1/\tau {\rm Hz}\)时，两个目标回波的频谱将严重混叠，此时无法通过多普勒频率区分两个目标，从上面简单的分析，就可以知道，分析雷达的距离分辨率需要从波形的时域特性出发，而分析雷达的多普勒分辨率则需要从波形的频域特性出发。对上述简单脉冲进行匹配滤波，可以得到匹配滤波之后的输出如下图所示
从上图可以看出，简单脉冲波形的匹配滤波输出为长度\(2\tau\)的三角波形，其峰值出现在回波延迟\(\tau_0\)处，据此我们首先来分析一下，对于简单脉冲信号来说，通过脉冲压缩(匹配滤波)是否提高了距离分辨率。
如上图所示，设在时延\(\tau_1\)和\(\tau_2\)处分别存在一个目标，当两个目标的时延差很大，即\(|\tau_1-\tau_2|\gg 2\tau\)时，显然通过匹配滤波输出的峰值可以很容易分辨两个目标，当两个目标不断靠近直至发生重叠时，两个目标回波的匹配滤波结果将出现叠加(因为距离变化会引起回波相位发生变化，所以两个回波的匹配滤波输出的相位之间的关系是随机的，所以这边的叠加可能是同向叠加或反向相消或其他不完全同向和反向的叠加方式，上图仅对同向叠加的情况进行了示意说明，对于其他形式的叠加情况可以仿照上图进行分析)。不过即使两个目标回波的匹配滤波结果出现部分重叠的情况，只要满足\(|\tau_1-\tau_2|\gg \tau\)，则通过二者匹配滤波波形的峰值，仍能将两者进行区分。但是当两者进一步靠近，直到\(|\tau_1-\tau_2| < \tau\)时，已经不能通过匹配滤波峰值将两者区分开了。所以，通过以上的分析，对于简单脉冲波形，匹配滤波(脉冲压缩)并不能提高其距离分辨率。因此，我们不禁要问，波形需要满足什么样的条件，进行匹配滤波(脉冲压缩)才是有意义的呢？这就是我们下面要探究的问题。
其实我们可以顺着图4进行设想，如果所用波形的匹配滤波输出是一个冲击函数的形式，那多好，那就意味着两个不同距离处的目标回波的匹配滤波分别只在两个目标对应的时延处有一个峰值，其他地方(其他\(2\tau\)的输出范围)全部是零，这个时候，显然通过匹配滤波之后的峰值，可以将两个靠得无限近的目标进行区分，也就是说，此时雷达的距离分辨率无限优越。此时，不管发射信号脉宽多大，接收端都能达到很好的距离分辨效果，完美完成了脉冲压缩的使命。但是实际上，上述\(\delta\)函数匹配输出的设想只是痴心妄想，实际条件很难满足。那我们就降低一点要求，受到图(2)(b)的启发，我们想如果能够设计一种波形，它的匹配滤波输出是sinc函数的形式，而且它的主瓣足够窄，那这个时候也能达到很好的距离分辨效果。现在我们的目标是设计一种波形，使得其匹配滤波输出的时域波形具有类似sinc函数的形式，且要求主瓣宽度窄。那么显然匹配滤波输出的频谱应该具有类似矩形的形状，且其带宽要较宽。而从\((1)\)我们知道，匹配滤波输出的频谱可以表示为原始频谱的平方，这也就意味着我们想要的信号的频谱也应该具有类似矩形的形状，且其带宽要较宽。假设我们现在还是保证发射信号脉宽\(\tau\)不变，这时我们的目标是增加信号的带宽，所以显然对于脉冲压缩信号来说，其时宽带宽积\(\beta\tau \gg 1\)。由于要求的信号具有类矩形的频谱，所以其时域波形的瑞利时间限为\((1/\beta) {\rm s}\)，所以此时该信号匹配滤波(脉冲压缩)后的距离分辨率为\(c/2\beta\),由于此时\(\beta \gg 1/\tau\)，所以此时距离分辨率\(\Delta R=c/2\beta \gg c\tau/2\),也就达到了通过脉冲压缩提高距离分辨率的目的。下面通过对常见的线性调频信号的匹配滤波(脉冲压缩)结果进行分析，来进一步验证上述结论：
图(5)为时宽带宽积\(\beta\tau=100\)的线性调频信号的基本情况，可以看出此时其频谱呈现类矩形的形式，而且\(\beta\tau\)越大，它越趋近于矩形。此时其匹配滤波的结果呈现类sinc函数的形式，在图(5)(c)中，三角形虚线是等时宽的简单脉冲波形的匹配滤波结果。此时线性调频信号的匹配滤波输出为类sinc函数的形式，且其瑞利限为\(1/\beta\)，通过匹配滤波，可以成功将其距离分辨率改善到\(c/2\beta\)。
除了线性调频信号以外，目前雷达系统所用的OFDM调制信号通常在发射端经过了扰码等操作，所以呈现出类噪声的形式，其频谱也呈现出类矩形的形式，所以其匹配滤波输出也表现出类sinc函数的形式，所以通过匹配滤波(脉冲压缩)同样可以极大地提高雷达的距离分辨率。需要注意的是，假设发射信号频谱为完美矩形时，其对应的匹配滤波输出时域信号为sinc函数形式，此时其第一旁瓣与主瓣只相差13.2dB，所以强目标的旁瓣有可能湮没临近的弱目标，所以旁瓣压制就是这些脉冲压缩信号进行脉冲压缩后需要进一步考虑的问题了。
从本文的上述分析中可以总结得到：
匹配滤波(脉冲压缩)是以发射波形为参考信号的相关器，它的输出不是发射信号的复制，而是其自相关函数，因此如果可以将一个波形设计为具有较长的脉宽同时具有较窄的自相关函数，则利用该波形可以同时得到高的距离分辨率和能量，实现二者的解耦。
