2020牛客暑期多校训练营（第四场) A Ancient Distance

题解：这里主要讲一下官方题解的调和级数是怎么来的，因为当我们确定了一个最大 \(Ancient Distance = x\) 时，我们可以最多只用 \(\frac{n}{x}\) 个关键的就可以让这棵树的 \(Ancient Distance = x\) ，所以我们用 \(ans[i]\) 表示当关键点个数为 \(i\) 时，\(Ancient Distance\) 的最小值， 然后从 \(n - 1\) 到 \(1\) 枚举 \(x\) ，每次只要找不大于 \(\frac{n}{x}\) 个点就可以确定当 \(Ancient Distance = x\) 时所需要的最小关键点，所以我们不考虑寻找深度的最小的点时的复杂度为 \(\sum_{i = 1}^{n}\frac{n}{i} = n\log n\) ，由于我们时反向遍历的，所以最后的 \(ans[i]\) 一定会是最小值，关于找最小点可以线段树维护 \(dfs\) 序，每次查询的复杂度为 \(\log n\)，所以总的复杂度为 \(n\log n \log n\)

第一份是官方题解的做法：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;
#define lc (rt << 1)
#define rc ((rt << 1) | 1)
const int maxn = 2e5 + 50;
const LL mod = 1e9 + 7;
double eps = 1e-6;
 
int n;
struct Edge
{
    int to, next;
} edge[maxn * 2];

int k, head[maxn];

void add(int a, int b){
    edge[k].to = b;
    edge[k].next = head[a];
    head[a] = k++;
}

int dfn[maxn], dep[maxn], ln[maxn], rn[maxn], tot, fa[maxn][30], nodeid[maxn];
void dfs(int u, int pre, int d){
    fa[u][0] = pre;
    ln[u] = ++tot;
    nodeid[tot] = u; 
    dep[tot] = d;
    for(int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next){
        int to = edge[i].to;
        if(to == pre) continue;
        dfs(to, u, d + 1);
    }
    rn[u] = tot;
}

void init(){
    dfs(1, -1, 0);
    for(int j = 0; (1 << (j + 1)) < n; j++){
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            if(fa[i][j] < 0) fa[i][j + 1] = -1;
            else fa[i][j + 1] = fa[fa[i][j]][j]; 
        }
    }
}
int LCA(int u, int len){ // 倍增找向上走 len 步的节点
    len = min(len, dep[ln[u]]);
    for(int i = 0; (1 << i) <= len; i++){
        if(len & (1 << i)) u = fa[u][i];
    }
    return u;
}

int getMax(int u, int v){
    if(dep[u] >= dep[v]) return u;
    else return v;
}
int Lazy[maxn << 2];
int tree[maxn << 2];
void PushUp(int rt){
    tree[rt] = 0;
    if(!Lazy[lc]) tree[rt] = getMax(tree[rt], tree[lc]);
    if(!Lazy[rc]) tree[rt] = getMax(tree[rt], tree[rc]);
}

void Build(int le, int ri, int rt){
    if(le == ri){
        tree[rt] = le;
        return ;
    }
    int mid = (le + ri) >> 1;
    Build(le, mid, lc);
    Build(mid + 1, ri, rc);
    PushUp(rt);
}

void Update(int le, int ri, int L, int R, int val, int rt){
    if(L <= le && ri <= R){
        Lazy[rt] = val;
        return ;
    }
    int mid = (le + ri) >> 1;
    if(L <= mid) Update(le, mid, L, R, val, lc);
    if(R > mid) Update(mid + 1, ri, L, R, val, rc);
    PushUp(rt);
}

vector<int> vec;
int ans[maxn];
int main()
{
    while(~scanf("%d", &n)){
        k = tot = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++) head[i] = -1;
        for(int i = 1; i < n; i++){
            int x;
            scanf("%d", &x);
            add(x, i + 1);
            add(i + 1, x);
        }
        init();
        for(int i = 0; i <= n; i++){
            ans[i] = n - 1;
        }
        Build(1, n, 1);
        for(int i = n - 1; i >= 0; i--){
            int cost = 1;
            while(1){
                int u = tree[1];
                if(dep[u] <= i) break;
                u = LCA(nodeid[u], i);
                vec.push_back(u);
                cost++;
                Update(1, n, ln[u], rn[u], 1, 1);
            }
            int len = vec.size();
            for(int u = 0; u < len; u++) Update(1, n, ln[vec[u]], rn[vec[u]], 0, 1);
            vec.clear();
            ans[cost] = i;
        }
        LL res = ans[1];
        for(int i = 2; i <= n; i++){
            ans[i] = min(ans[i - 1], ans[i]);
            res += ans[i];
        }
        printf("%lld\n", res);
    }
    return 0;
}