线段与多边形的关系
转自周见智
介绍
最近项目中要用到有关几何（Geometry）方面的知识，程序需要判断给定的一条线段（Segment）与指定多边形（Polygon）的位置关系。这种关系分为三种：多边形包含线段、多边形与线段相交以及多边形与线段无关联。
起初我以为.NET类库中已经包含此种判定功能的API，比如类似System.Drawing.Region这些类型，后来等到实际要用的时候才发现根本就没这种“高级”算法。
没办法，只能自己去写代码实现。后来在stackoverflow（链接）上找到了一个解决方案，不过都是源代码，并没有详细的说明。本文参照原作者提供的源码，进行详细的说明。如果你只需要最终答案，可以不用阅读本文所有内容，文章最后会给出判断源代码，很简答使用，就一个方法，代入参数直接调用即可，但如果你想搞清楚怎么回事，那么可以静下心来看看本文全部内容，虽然比较复杂，但是相信一定会有所收获的。
解决思路
线段与多边形的关系只有三种：无关联、相交以及包含。我们可以分以下两步来进行分析：
- 判断线段与多边形的各条边是否相交，若是，则线段与多边形属于“相交”关系；
- 如果线段与多边形的任何边都不相交，那么我们接着判断线段的任意一个端点是否在多边形内部，若是，则整条线段肯定在多边形内（即“包含”关系）；若不是，则整条线段肯定都在多边形外部（即“无关联”关系）。
上面两步看似简单，实质相当复杂。判断线段与多边形各条边的关系涉及到了“线段与线段关系的判断”、判断线段任意一个端点是否在多边形内部涉及到了“点与线段关系的判断”，总之，要解决大问题必须先解决一些小问题：
- 点与线段的关系
- 线段与线段的关系
- 点与多边形的关系
下面依次介绍以上三个小问题的解决方法。
问题一：点与线段的关系
点与线段只有两种关系：
- 点在线段上
- 点与线段无关联
这种判断方法很简单，只要我们能确保给定点P的Y坐标在线段AB两个端点的Y坐标之间（或者点P的X坐标在两个端点的X坐标之间也行），并且点P与线段AB任意端点间的斜率与AB线段斜率相等即可说明点P在线段AB上。
如上图，如果Y2<Y<Y1且K==K1，则说明点P在线段AB上；否则，点P与线段AB无关联。
问题二：线段与线段的关系
线段与线段也只有两种关系：
- 两线段相交
- 两线段无关联
这种判断稍微复杂一些，为了更方便计算，涉及到了“平移”、“旋转”等操作。给定线段AB和CD，先将两线段整体平移（注意是整体），让线段AB的A端点与原点（0,0）重合，接着将两线段整体旋转（注意是整体），让线段AB与X轴的正方向重合。
如上图，将任意两线段AB和CD按照“先整体平移，再整体旋转”的顺序操作一遍，最终让线段AB的A端点与原点（0,0）重合，并让线段AB与X轴正方向重合。很显然，任意线段均可以进行以上操作。接下来，再在此基础上进行判断就比较简单了，如果线段CD的两个端点C和D的Y坐标均大于零（分布在第一、二象限）或者均小于零（分布在第三、四象限），那么AB与CD肯定不相交，换句话说，CD的两个端点必须一个在X轴上方另一个在X轴下方时，两条线段才有可能相交。如果线段CD的端点确实是一个在X轴上方一个在X轴下方，接下来再计算直线AB和直线CD（注意这里说的是直线）的交点（这时候两条直线一定有交点，并且交点在X轴上），这里暂定交点为P，如果P在X轴的负方向上（P.X<0），那么说明线段AB和CD不相交，如果P在X轴正方向但是P的X坐标大于线段AB的长度，那么说明线段AB和CD也不相交，其他情况下，线段AB和CD才属于“相交”关系。
问题三：点与多边形的关系
点与多边形有三种关系：
- 点与多边形无关联
- 点在多边形上（某条边上）
- 点在多边形内部
判断点是否在多边形上需要用到解决问题一的方法，即判断点与线段的关系。如果点不在多边形上，那么需要判断它在多边形内部还是外部，这个判断方法说难也不难，说不难也挺难的。事实上，只需要判断点在多边形每条边的左边还是右边（注意这里的左边和右边定义，见下图）
如上图，多边形ABCDE在右侧光源的照射下，它的每条边（如AB、BC等）都会与Y轴上各自的投影（如A`B`、B`C`等）之间形成一个梯形区域，如ABB`A`、BCC`B`等。我们只需要统计给定点P在这些梯形区域中的次数，若点P在某条边对应的梯形区域内，那么计数N加1，最后看N是否为偶数，如果N为偶数（包括0），那么说明点P不在多边形内部；否则，点P在多边形内部。上图中P1的计数N==1（只在ABB`A`内部），所以点P1在多边形ABCDE内部，而点P2的计数N==2（同时在AEE`A`和BCC`B`内部），所以点P2不在多边形ABCDE内部，同理，点P3的计数N==0，所以它也不在多边形内部。
