[ARC-148] A - mod M

0|1原题链接

1|0题意

给你一个序列 $A = (A_{1}, A_{2}, . . ., A_{n})$ ，你需要对它们进行一次操作

你可以选择一个大于等于 $2$ 的模数 $m$ ，然后将 $A$ 序列的所有元素更新为 $A_{i}$ $m o d$ $m$

举个例子，你可以选择 $m = 4$ 并将 $(2, 7, 4)$ 更新为 $(2, 3, 0)$

现在，你的任务是寻找一个合适的 $m$ 并输出序列 $A$ 被 $m$ 更新后的不同元素的个数

2|0思路

首先，我们考虑 $m = 2$ 的特殊情况

由于取模运算的封闭性，当 $m = 2$ 时，显然答案最大为 $2$

因此我们证明出答案的上界为 $2$ ，而由于更新后 $A$ 数组至少有一个元素，即答案的下界为 $1$

故我们可以知道答案只会在 $1, 2$ 两者之中

我们考虑什么时候答案可以为 $1$

我们来寻找一个 $A$ 数组和 $m$ ，并让答案为 $1$ :

当 $A_{i}$ $m o d$ $m$ 均等于 $x$ 时，答案为 $1$

那么我们可以将 $A_{i}$ 写作 $A_{i} = k * m + x$

于是有 $A_{i} - A_{i - 1} = (k_{i} - k_{i - 1}) * m$ ，避免负数，我们把 $| A_{i} - A_{i - 1} |$ 写作 $a_{i}$

可以知道当 $i$ 从 $2$ 取到 $n$ 时，得到的 $a$ 序列，他们的最大公倍数 $g c d$ 的下界为 $m$

至此，接下来我们来寻找 $a$ 序列的最小公倍数作为模数 $m$

当 $g c d = 0$ 时

那么根据辗转相除法，此时所有的 $A_{i}$ 都是相等的，显然答案为 $1$

当 $g c d = 1$ 时

那么此时他们就没有除了 $1$ 公约数，也就没有一个合适的 $m$ ，于是令 $m = 2$ ，所以答案为 $2$

对于其他情况

则是此时存在一个 $m$ , 使得更新后的 $A_{i}$ 均为 $x$ ，所以答案为 $1$

至此，我们可以在 $O (N l o g_{m a x (A [i])})$ 的时间复杂度内，解决该问题

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e5 + 10;
int n, a[N], b[N];
int main(){
	cin >> n;
	for(int i = 1 ; i <= n; i++)
		scanf("%d", &a[i]);
	for(int i = 2; i <= n; i++)
		b[i] = abs(a[i] - a[i - 1]);
	int gcd = b[2];
	for(int i = 3; i <= n; i++)
		gcd = __gcd(b[i], gcd);
	if(gcd == 1)
		puts("2");
	else puts("1");
	return 0;
}

__EOF__

本文作者：userName
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