第四章：矩阵简介
第四章：矩阵简介
矩阵在3D数学中具有根本意义上的重要性，它们通过定义将矢量从一个坐标空间转换为另一个坐标空间。
1. 矩阵的数学定义
对于具有r行和c列的矩阵，称为 \(r \times c\) 矩阵，当希望引用矩阵中的各个元素时，将使用下标表示法。以 \(3\times3\) 矩阵为例：
像上述那样，有相同行数和列数的矩阵称为方形矩阵，这也是我们特别关注的。
如果方阵的非对角元素都为0，则该矩阵为对角矩阵。
再特殊一点，如果对角矩阵的对角元素恰好都为1，那这个矩阵就是单位矩阵。
矢量也可以被视为矩阵，但有两种不同的书写方式：行矢量和列矢量。
还可以将矩阵以对角的方式进行“翻转”，我们称翻转后的矩阵是原来矩阵\(M\)的转置，用符号\(M^T\)表示。
矩阵可以与标量相乘，过程和矢量与标量相乘类似（毕竟矢量也算是矩阵）：
矩阵与矩阵也可以相乘，但这个规则有些许奇怪，刚接触线性代数的同学可能也记不大清楚，不过这本书的作者给了个好记的办法。不过，首先应当知道，不是所有矩阵都能相乘，必须要保证相乘时前者的列数与后者的行数相同，直接上图：
而它的运算过程，相当于把前者当成一组行矢量，后者当作一组列矢量，再逐个相乘。具体是这样的（挺直观、好记的：
要注意以下几点（实际上它们背后都是几何常识，当你了解了矩阵的几何含义后再回头思考这些，你会发现这些都理所当然）：
- 一个矩阵 \(M\) 乘上单位矩阵 \(I\) 结果不变，仍为 \(M\)；
- 矩阵乘法不可交换：\(AB\not=BA\)；
- 矩阵乘法可结合：\((AB)C=A(BC)\)；
- 转置两个矩阵的乘积与以相反顺序取得其转置的乘积结果相同：\((AB)^T=B^TA^T\)。
矩阵还可以与矢量相乘，但这时，矢量是行矢量还是列矢量就会影响计算的结果。
可以看到，计算形式正确的情况下，使用列矢量计算，得到的结果就是列矢量，并且可以被解释为矩阵的列的线性组合，其中的系数来自矢量的操作数；行矢量同理。
2.矩阵的几何解释
一般来说，方形矩阵可以描述任何线性变换（具体定义下一章讨论），它包括：旋转、比例缩放、正交投影、反射、错切。下一章，我们将推导出执行这些操作的矩阵，但现在，我们要先大致理解矩阵是怎么与坐标空间变换扯上关系的。
先来看一个简单特殊的情况，用一组标准基矢量与矩阵相乘：
那再让情况更“一般”些，我们之前学过，任何矢量都可以写成标准基矢量的线性组合，因此，对于一般的矢量与矩阵相乘：
也可以写成：
桥豆麻袋！不是说好了几何解释吗？怎么尽是些算式呢？！
咳咳！其实矩阵的几何解释很直接，就是线性变换，这似乎有点废话，但这的确是上述公式所表达的意思。比如，我让一个二维标准基矢量乘上矩阵\(\begin{bmatrix}
2&1\\
-1&2\\
\end{bmatrix}\)会得到什么呢？这次我们直接在图上标出计算结果\(\vec{q}\)、\(\vec{p}\)：
不明白？那换个样子看看：
现在总该明白了吧，当矢量乘上矩阵后，似乎就发生了旋转和拉伸。事实上的确如此，但也不仅如此，矩阵还能表示其他的一些变换，下一章我们将进一步认识到这一点。
那现在我们可以下结论了，矩阵就是变换过程本身。这并不意外，毕竟我们小学时也学过用1个数字代表角度的旋转不是吗？矩阵这么多数字，总该表示更复杂（其实也不复杂）的变换吧。
最后墙裂推荐一个视频捏（连我这种数学菜鸡都看得很舒服，如果跳转有问题，试试复制链接再粘贴
3. 坐标变换
现在还有最后一个问题，我们知道了矩阵可以表示线性变换，那它和坐标转换之间有什么关系呢？
也许你已经知道答案了，我们从一个坐标系转换为另一个坐标系的过程，不就像是把整个原始坐标进行一系列变换后得到目标矩阵的过程吗？就像下面这个将世界坐标转换为相机坐标一样：
但这也不对啊，平移不是不能算线性变换吗？这里就剧透一下吧，其实通过对矩阵进行升维，可以让矩阵也能表达平移！这样矩阵就可以表达我们想要的所有变换了。
什么？你说这只是变换了一组基矢量而已，但你是否记得任何向量都可以用一组基向量来表达。这么说来，我们一旦得知了变换后的基矢量，那不也能通过这个基矢量来计算出物体变换后的坐标吗？
