【数据结构】线段树（入门）

一.原理：

1.结构： 完全二叉树（不懂的点这个呀：传送门）
2.可以维护的内容： sum,max,min等

struct node{
	int l,r;//左右端点
	int sum,maxx,minn;//要维护的值
}

3.示意图（直接盗用学长课件里的图啦）
线段树的每个节点表示一个区间，子节点则分别表示父节点的左右半区间，例如父亲的区间是[a,b]，那么(c=(a+b)/2)左儿子的区间是[a,c]，右儿子的区间是[c+1,b]。（来自课件）
（其实这个的原理跟模拟堆差不多，那篇博客被我鸽了 ）

4.说明：

区间[l,r]一般分为[l,mid],[mid+1,r];
mid=floor(l+r>>1);//下取整

二.基本操作：

1.建树（递归）
2.单点修改：
3.区间查询：
（1）、如果这个区间被完全包括在目标区间里面，直接返回这个区间的值

（2）、如果这个区间的左儿子和目标区间有交集，那么递归左儿子

（3）、如果这个区间的右儿子和目标区间有交集，那么递归右儿子

三.代码：

1.pushup：用子节点更新当前节点信息

void pushup(int u){
    tr[u].sum=tr[u<<1].sum+tr[u<<1|1].sum;
}

2.build: 在一段区间上初始化线段树

void build(int u,int l,int r){
    if(l==r){
        tr[u].l=l;tr[u].r=r;tr[u].sum=w[r];
    }
    else{
        tr[u].l=l;tr[u].r=r;
        int mid=l+r >> 1;
        build(u << 1,l,mid);build(u<<1|1,mid+1,r);
        pushup(u);
    }
}

3.update：单点修改

void update(int u,int x,int v){
    if(tr[u].l==tr[u].r) tr[u].sum+=v;
    else{
        int mid=tr[u].l+tr[u].r >> 1;
        if(x<=mid) update(u<<1,x,v);
        else update(u<<1|1,x,v);
        pushup(u);
    }
}

4.query：区间查询

int query(int u,int l,int r){
    if(tr[u].l>=l&&tr[u].r<=r)
        return tr[u].sum;
    int mid=tr[u].l+tr[u].r >> 1;
    int sum=0;
    if(l<=mid) sum=query(u<<1,l,r);
    if(r>mid) sum+=query(u<<1|1,l,r);
    return sum;
}

四.模板题

原题链接：传送门（更好的阅读体验）
（洛谷上也有几道模板题的 可以去做）

题目描述
给定 n 个数组成的一个数列，规定有两种操作，一是修改某个元素，二是求子数列 [a,b] 的连续和。

输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m，分别表示数的个数和操作次数。

第二行包含 n 个整数，表示完整数列。

接下来 m 行，每行包含三个整数 k,a,b （k=0，表示求子数列[a,b]的和；k=1，表示第 a 个数加 b）。

数列从 1 开始计数。

输出格式
输出若干行数字，表示 k=0 时，对应的子数列 [a,b] 的连续和。

数据范围
1≤n≤100000,
1≤m≤100000，
1≤a≤b≤n
输入样例：
10 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 5
0 1 3
0 4 8
1 7 5
0 4 8
输出样例：
11
30
35
线段树解法：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
int n,m,w[maxn];
struct node{
    int l,r,sum;
}tr[4*maxn];
void pushup(int u){
    tr[u].sum=tr[u<<1].sum+tr[u<<1|1].sum;
}
void build(int u,int l,int r){
    if(l==r){
        tr[u].l=l;tr[u].r=r;tr[u].sum=w[r];
    }
    else{
        tr[u].l=l;tr[u].r=r;
        int mid=l+r >> 1;
        build(u << 1,l,mid);build(u<<1|1,mid+1,r);
        pushup(u);
    }
}
int query(int u,int l,int r){
    if(tr[u].l>=l&&tr[u].r<=r)
        return tr[u].sum;
    int mid=tr[u].l+tr[u].r >> 1;
    int sum=0;
    if(l<=mid) sum=query(u<<1,l,r);
    if(r>mid) sum+=query(u<<1|1,l,r);
    return sum;
}
void update(int u,int x,int v){
    if(tr[u].l==tr[u].r) tr[u].sum+=v;
    else{
        int mid=tr[u].l+tr[u].r >> 1;
        if(x<=mid) update(u<<1,x,v);
        else update(u<<1|1,x,v);
        pushup(u);
    }
}
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>w[i];
    build(1,1,n);
    int op,x,y;
    while(m--){
        cin>>op>>x>>y;
        if(!op) printf("%d\n",query(1,x,y));
        else update(1,x,y);
    }
    return 0;
}

树状数组解法：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5+6;
int tr[N];
int a[N];
int n,m;
int lowbit (int x){
	return x&(-x);
} 
void add(int x,int y){
	for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) 
		tr[i]+=y;
}
int sum(int x){
	int res=0;
	for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i)) res+=tr[i];
	return res;
}
int main(){
	
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		add(i,a[i]);
	}
	while(m--){
		int k,x,y;
		cin>>k>>x>>y;
		if(k==0)
			cout<<sum(y)-sum(x-1)<<endl;
		else
			add(x,y);
	}
	return 0;
}

五：进阶-区间修改

为了实现这个，引入一个新的状态——懒标记。
作用：存储到这个节点的修改信息，暂时不把修改信息传到子节点。
实现思路：
递归到这个节点时，只更新这个节点的状态，并把当前的更改值累积到标记中。
下传操作
①当前节点的懒标记累积到子节点的懒标记中。
②修改子节点状态。在引例中，就是原状态+子节点区间点的个数*父节点传下来的懒标记。
③父节点懒标记清0。

比较好的几篇博客呀：
线段树从零开始
线段树详解 （原理，实现与应用）
线段树 从入门到进阶