LDUOJ——最小生成树（欧拉函数+思维）

原题链接

H. 最小生成树

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Description

话说正在jmy愁苦如何筹钱给大家买汽水的时候，他遇上了一位魔法师。魔法师希望jmy能帮他破解魔法书的咒语。如果jmy做到了，就帮他付所有买汽水的钱。
魔法书上画了一个完全图（每两个点之间有且只有一条边），每个点都有一个独一无二的[1,n][1,n]内的编号，jmy的任务是要找到最小生成树，以此作为魔法树，从而破解咒语。
对于完全图的边(i,j)(i≠j)(i,j)(i≠j)的边权恰好就等于i,ji,j 两个数字的最大公约数。
特别地，要作为魔法树，必须满足树指定某个点为根后，所有除根以外的节点的父亲的标号必须小于自身标号。
jmy一眼就看出了最小生成树的边权和。然而咒语却是最小生成树的个数。
为了保证大家都有汽水喝，你能帮帮jmy吗？

Input

一行仅一个数NN表示完全图的大小。

Output

一行一个整数表示答案对100,000,007取mod的结果。

Samples

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3

Output

2

Hint

【数据规模】

• 对于10%的数据N≤5N≤5
• 对于30%的数据N≤8N≤8
• 对于40%的数据N≤10N≤10
• 对于70%的数据N≤5,000N≤5,000
• 对于100%的数据N≤20,000

思路：

很明显，可以让1做根节点，最小生成树的权值和为n-1，这样最小生成树里的边的权值都为1，即i与j互质。又因为题目里说的“ 所有除根以外的节点的父亲的标号必须小于自身标号”，也就是对于每个点来说，他的父节点的标号必须小于他的标号，所以对于一个点x来说，他的父节点有phi[x] 种可能。根据乘法原理计算即可。

伪最小生成树题

代码：

注意mod的值！

#pragma GCC optimize(3)
///#pragma GCC optimize("Ofast","unroll-loops","omit-frame-pointer","inline")
#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<ll,ll>PLL;
typedef pair<int,int>PII;
typedef pair<double,double>PDD;
#define I_int ll
inline ll read()
{
    ll x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9')
    {
        if(ch=='-')f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9')
    {
        x=x*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return x*f;
}
char F[200];
inline void out(I_int x)
{
    if (x == 0) return (void) (putchar('0'));
    I_int tmp = x > 0 ? x : -x;
    if (x < 0) putchar('-');
    int cnt = 0;
    while (tmp > 0)
    {
        F[cnt++] = tmp % 10 + '0';
        tmp /= 10;
    }
    while (cnt > 0) putchar(F[--cnt]);
    //cout<<" ";
}
ll ksm(ll a,ll b,ll p)
{
    ll res=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)res=res*a%p;
        a=a*a%p;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
const int inf=0x3f3f3f3f,mod=100000007;
const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int N=21000,maxm=3e5+7;
const double PI = atan(1.0)*4;
int prime[N],cnt,phi[N];
bool st[N];

void get_eulers(int n){
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!st[i]){
            prime[cnt++]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=0;prime[j]<=n/i;j++){
            st[prime[j]*i]=true;
            if(i%prime[j]==0){
                phi[i*prime[j]]=prime[j]*phi[i];
                break;
            }
            phi[i*prime[j]]=(prime[j]-1)*phi[i];
        }
    }
}

int main()
{
    int n=read();
    get_eulers(n);
    ll res=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        if(phi[i]>1) res=res*phi[i]%mod;
    out(res);
    return 0;
}