牛客——Mocha 的数据包

原题链接

思路：

设\(f[i]\)表示最优情况下发送\(i\)个数据包的期望代价。
考虑怎么发送是最优的。
直接说结论吧，每次将未发送的k个数据包全部发送为最优策略。
证明见出题人题解。
所以类似于dp的转移，每次的代价为代价和乘以概率。
枚举发送\(i\)个数据包的期望代价：
\(i\)个数据包全发送成功的概率为\(1\)-数据包都不成功的概率；
代价的话：最开始的代价为\(fib[n-i+1]\)，然后枚举这次发送成功了\(j\)个，所以上次发送成功了\(i-j\)个，
每次的代价都为

\[c[i][j]*(p/q)^{j}*(1-p/q)^{i-j}*f[i-j] \]

\(c[i][j]\)表示从i个数据包里选j个是本次发送成功的；
\((p/q)^{j}\)表示j个数据包发送成功的概率；
\((1-p/q)^{i-j}\)表示\(i-j\)个数据包发送不成功的概率；
\(f[i-j]\)表示\(i-j\)个数据包全部发送的最优策略的期望代价。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<ll, ll>PLL;
typedef pair<int, int>PII;
typedef pair<double, double>PDD;
#define I_int ll
inline ll read()
{
    ll x = 0, f = 1;
    char ch = getchar();
    while(ch < '0' || ch > '9')
    {
        if(ch == '-')f = -1;
        ch = getchar();
    }
    while(ch >= '0' && ch <= '9')
    {
        x = x * 10 + ch - '0';
        ch = getchar();
    }
    return x * f;
}
#define read read()
#define closeSync ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0)
#define multiCase int T;cin>>T;for(int t=1;t<=T;t++)
#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define repp(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);i++)
#define per(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
#define perr(i,a,b) for(int i=(a);i>(b);i--)
ll ksm(ll a, ll b, ll p)
{
    ll res = 1;
    while(b)
    {
        if(b & 1)res = res * a % p;
        a = a * a % p;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}
const int inf = 0x3f3f3f3f;
#define PI acos(-1)
const double eps = 1e-8;
const int maxn =1e6+7;
const ll mod=998244353;
ll n,p,q;
ll fib[maxn];
ll c[2100][2100],f[maxn];
void init(ll n){
	fib[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
		fib[i]=(fib[i-1]+fib[i-2])%mod;
	for(int i=0;i<=n;i++)
		for(int j=0;j<=i;j++){
			if(j==0) c[i][j]=1;
			else c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mod;
		}
}

int main(){
	cin>>n>>p>>q;
	init(n);
	ll win=p*ksm(q,mod-2,mod)%mod;
	ll lose=(q-p+mod)%mod*ksm(q,mod-2,mod)%mod;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		ll sum=fib[n-i+1];
		for(int j=1;j<=i;j++)
			sum=(sum+f[i-j]*ksm(win,j,mod)%mod*ksm(lose,i-j,mod)%mod*c[i][j]%mod)%mod;	
		f[i]=sum*ksm((1-ksm(lose,i,mod)+mod)%mod,mod-2,mod)%mod;
	}
	cout<<f[n]<<endl;
	return 0;
}