模拟赛 复活石 （狄利克雷卷积+快速幂 // 组合数学）

题解

法一：
卷积忘完了，考场上根本没想到。。
可以发现要求的就是\(f*I^k\)，这里的\(*\)是狄利克雷卷积。
然后狄利克雷卷积支持结合律。
所以快速幂就完事了。
时间复杂度\(O(n\log n\log k)\)

法二：
考虑\(f(x)\)对于\(g(i)\)的贡献，一定是\(f(x)*y\)的形式，\(y\)为一个与\(i/x\)有关的系数。

令\(a_j=\frac{i_j-1}{i_j}(j\in[1,k]),i_0=i,i_k=x\)。那么\(y\)就是合法的\(a\)序列数量，\(a\)实质就是\(x\)乘上\(k\)个数最后变成了\(i\)。

容易发现就相当于把\(i/x\)的质因子分在\(k\)个盒子里。每个质因子独立可以分开算。假设当前质因子有\(m\)个，方案就是\(C(m+k-1,k-1)\)

可以通过dfs/线性筛求出\(y\)。最后把\(f,y\)卷积一下就算出了答案。

CODE

法一代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline void read(int &x) {
	char ch; while(!isdigit(ch=getchar()));
	for(x=ch-'0';isdigit(ch=getchar());x=x*10+ch-'0');
}
const int mod = 1e9 + 7;
const int MAXN = 100005;
int n, k, f[MAXN], g[MAXN], tmp[MAXN];
void mul(int *a, int *b) {
	for(int i = 1; i <= n; ++i) tmp[i] = 0;
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
		for(int j = i; j <= n; j += i)
			tmp[j] = (tmp[j] + 1ll * a[i] * b[j/i]) % mod;
	for(int i = 1; i <= n; ++i) a[i] = tmp[i];
}
int main () {
	int T; read(T);
	while(T--) {
		read(n), read(k);
		for(int i = 1; i <= n; ++i) read(f[i]), g[i] = 1;
		while(k) {
			if(k&1) mul(f, g);
			mul(g, g); k>>=1;
		}
		for(int i = 1; i <= n; ++i) printf("%d%c", f[i], " \n"[i == n]);
	}
}