杜教筛时间复杂度证明

假设我们要求$S(n)$且有$S(n)=\sum_{i=2}^nS(⌊\frac ni⌋)$
于是我们要求在整除分块优化下的时间复杂度,只需要求出$\sqrt n个S(⌊\frac ni⌋)$的值就行了

假设计算出$S(n)$的复杂度为$T(n)$,则有
$T(n)=\Theta (\sqrt n) + \sum_{i=2}^n(T(i)+T(\frac ni))$其中$\Theta (⌊\sqrt n⌋)$是累加也就是合并的时间

这里其实只用展开一层就行了,因为在往下就是高阶小量,所以有
$T(n)=\Theta(\sqrt n) + \sum_{i=2}^n(\Theta (\sqrt i)+\Theta(\sqrt{⌊\frac ni⌋}))=\Theta(n^{\frac 34})$$\because \Theta (\sqrt i)+\Theta(\sqrt{⌊\frac ni⌋})>=2\sqrt{\sqrt n}=2n^{\frac 14}$
$\therefore \sqrt n(\Theta (\sqrt i)+\Theta(\sqrt{⌊\frac ni⌋}))>=2n^{\frac34}$

又由于可以用筛法处理一部分,假设处理了前$k$个前缀和,且$k>=\sqrt n$,则$T(n)=\sum_{i=2}^{\frac nk}\Theta(\sqrt{⌊\frac ni⌋})=\Theta(\frac n{\sqrt k})$当$k$取到$\Theta(n^{\frac 23})$时能取到较优秀的时间复杂度$\Theta(n^{\frac 23})$