e=μ∗I\large e=\mu*Ie=μ∗I φ∗I=id→φ=μ∗id\large \varphi*I=id\\\to\varphi=\mu*idφ∗I=id→φ=μ∗id σ0=I∗I→I=μ∗σ0\large \sigma_0=I*I\\\to I=\mu*\sigma_0σ0=I∗I→I=μ∗σ0
∑d∣nμ(d)=[n=1]\large \sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]d∣n∑μ(d)=[n=1] ∑d∣nφ(d)=n\large \sum_{d|n}\varphi(d)=nd∣n∑φ(d)=n ∑d∣nμ(nd)⋅d=φ(n)∑d∣nμ(d)⋅nd=φ(n)\large \sum_{d|n}\mu(\frac nd)\cdot d=\varphi(n)\\\sum_{d|n}\mu(d)\cdot \frac nd=\varphi(n)d∣n∑μ(dn)⋅d=φ(n)d∣n∑μ(d)⋅dn=φ(n) σ0(i⋅j)=∑x∣i∑y∣j[(x,y)=1]\large \sigma_0(i\cdot j)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}[(x,y)=1]σ0(i⋅j)=x∣i∑y∣j∑[(x,y)=1] σ1(i⋅j)=∑x∣i∑y∣jx⋅j/y[(x,y)=1]\large \sigma_1(i\cdot j)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}x\cdot j/y[(x,y)=1]σ1(i⋅j)=x∣i∑y∣j∑x⋅j/y[(x,y)=1]
