CodeCraft-19 and Codeforces Round #537 (Div. 2) 题解

水题大赛

A. Superhero Transformation

1S 256MB

题意

给出两个小写字母串$a,b$，询问是否可以把$a$串通过变化转成$b$串。字符串长度最大为$1000$。

变化次数不限：

• 元音字母之间可以互相转换，如$a\to u,o\to a$，但是$a\to\not b$
• 辅音字母之间可以互相转换。如$b\to y$，但是$b\to\not a$

分析

判断长度是否相等，在判断每个位置上的数是否同为元音或者辅音。

CODE

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
char a[1005], b[1005];
int n, m;
inline bool chk(char c) {
	return c == 'a' || c == 'e' || c == 'i' || c == 'u' || c == 'o';
}
int main () {
	scanf("%s%s", a+1, b+1);
	n = strlen(a+1);
	m = strlen(b+1);
	if(n != m) return puts("No"), 0;
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
		if(chk(a[i])^chk(b[i])) return puts("No"), 0;
	puts("Yes");
}

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B. Average Superhero Gang Power

1S 256MB

题意

有$n(\le 10^5)$个正整数$a_i(\le10^6)$，$m(\le 10^7)$次操作。每次操作可以选择两种方式：

• 一：给某个数加上$1$
• 二：删去某个数

要让平均值最大。有一个限制，作用在一个位置上的操作次数不超过$k(\le 10^5)$。

分析

按照贪心的策略，要删肯定从最小的开始删。那么排序后枚举删了几个数$i$，把剩下的操作数加在剩下$n-i$个位置上就行了，$k$的限制就取一个$min$就行了。

CODE

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 100005;
int n, k, m;
double a[MAXN];
int main () {
	scanf("%d%d%d", &n, &k, &m);
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
		scanf("%lf", &a[i]);
	sort(a + 1, a + n + 1);
	for(int i = 1; i <= n; ++i) a[i] += a[i-1];
	double ans = a[n] / n;
	for(int i = 0; i < n && i <= m; ++i) {
		double add = min(1.0*m-i, 1.0*k*(n-i));
		ans = max(ans, (a[n]-a[i]+add)/(n-i));
	}
	printf("%.10f\n", ans);
}

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C. Creative Snap

1S 256MB

题意

你有一个长度为$2^n(1\le n\le 30)$的序列，有$k(1\le k\le10^5)$个位置上有人，题目给出。不同的人可能在相同的位置。你要控制整个序列，控制一个序列有两种方式：

• 一：如果这个区间里面没有人，可以花费$A$代价控制它；否则如果这个区间有$k$个人，区间长度为$l$，可以花费$B\cdot k\cdot l$控制它。（$A,B$题目给出$(1\le A,B\le 10^4)$）
• 二：分别控制左半区间和右半区间。

要让控制整个序列的代价最小

分析

按题意递归即可，单位长度区间最多被访问$k$次，深度为$n$，再加上里面有个，总时间复杂度即为$O(nk\cdot logk)$(不满)

CODE

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAXN = 100005;
int n, k, a[MAXN], A, B;
LL solve(int l, int r, int x, int y) {
	if(x > y) return A;
	LL now = 1ll * B * (y-x+1) * (r-l+1);
	if(l == r) return now;
	int mid = (l + r) >> 1;
	int pos = upper_bound(a + x, a + y + 1, mid) - a;
	return min(now, solve(l, mid, x, pos-1) + solve(mid+1, r, pos, y));
}
int main () {
	scanf("%d%d%d%d", &n, &k, &A, &B);
	for(int i = 1; i <= k; ++i)
		scanf("%d", &a[i]);
	sort(a + 1, a + k + 1);
	printf("%I64d\n", solve(1, 1<<n, 1, k));
}

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D. Destroy the Colony

2S 512MB

题意

一个字符串$s(2\le|s|\le10^5\ \&\&\ |s|$为偶数$)$由大小写字母组成，你可以将它重新排列，一个合法的排列方案必须满足相同字符（区分大小写）全部都在左半边$(1\to|s|/2)$或者右半边$(|s|/2+1\to|s|)$，即同一侧。

有$q(\le 10^5)$次询问，每次询问$x,y(x=\not y)$，表示两个位置，记这两个位置上的字符分别为$A,B$（$A$可能等于$B$）。你需要输出 满足所有的$A$和$B$字符都在同一侧 的合法排序数。

举个栗子，$\color{black}s=\color{blue}a\color{black}abb\color{blue}c\color{black}b$。如果$(x,y)=(1,5)$，那么所有的$'a','c'$都要在同一侧，并且需要所有的$'b'$在同一侧。合法的方案就有
“aacbbb”，“bbbcaa”
“acabbb”，“bbbaca”
“caabbb”，“bbbaac”

分析

以下分析转自 Inspector_Javert的博客



由于每次只用$dp$出$\frac n2$的值，再加上是无序字符对，$(A,B)(B,A)$只用算一次。那么实际上复杂度为$n\cdot \frac{|U|^2}2=132600000$。而且因为只要$A,B$的出现次数加起来超过$\frac n2$就直接输出$0$，记忆化的话不一定把每个无序数对都做$dp$，于是就能过了。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 100005;
const int mod = 1e9 + 7;
char s[MAXN];
int n, m, c = 52, a[MAXN], cnt[55];
inline int num(char x) {
    return (x >= 'a' && x <= 'z') ? x-'a'+1 : x-'A'+27;
}
int fac[MAXN>>1], inv[MAXN>>1];
inline void pre(int N) {
    fac[0] = inv[0] = fac[1] = inv[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= N; ++i)
        fac[i] = 1ll * fac[i-1] * i % mod,
        inv[i] = 1ll * (mod - mod/i) * inv[mod%i] % mod;
    for(int i = 2; i <= N; ++i)
        inv[i] = 1ll * inv[i] * inv[i-1] % mod;
}
int ans[55][55], f[MAXN>>1], g[MAXN>>1], h[MAXN>>1];
int main () {
	scanf("%s%d", s+1, &m);
	n = strlen(s+1); pre(n/2);
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
        ++cnt[a[i] = num(s[i])];

    int base = 1ll * fac[n/2] * fac[n/2] % mod;
    for(int i = 1; i <= 52; ++i) if(cnt[i])
        base = 1ll * base * inv[cnt[i]] % mod;

    f[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= 52; ++i) if(cnt[i])
        for(int j = n/2; j >= cnt[i]; --j)
            f[j] = (f[j] + f[j-cnt[i]]) % mod;

    memset(ans, -1, sizeof ans);
    int x, y;
    while(m--) {
        scanf("%d%d", &x, &y);
        x = a[x], y = a[y];
        if(x > y) swap(x, y);
        if(!(~ans[x][y])) {
            int A = cnt[x], B = cnt[y];
            if(x == y) ans[x][y] = 1ll * base * f[n/2] % mod;
            else {
                if(A + B > n/2) ans[x][y] = 0;
                else {
                    for(int j = 0; j <= n/2; ++j)
                        g[j] = (f[j] - ((j >= A) ? g[j-A]: 0) + mod) % mod;
                    for(int j = 0; j <= n/2; ++j)
                        h[j] = (g[j] - ((j >= B) ? h[j-B]: 0) + mod) % mod;
                    ans[x][y] = 2ll * base * h[n/2] % mod;
                }
            }
        }
        printf("%d\n", ans[x][y]);
    }
}

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E. Tree

1.5S 256MB

题意

给出一棵树，节点为$n(\le 10^5)$，有$q(\le 10^5)$次询问。

每次询问格式为$k,m,r\left(1\le k,r\le n,m\le min(k,300),\sum k\le10^5\right)$。表示询问在以$r$为根的情况下，把给出的$k$个点，分成至多$m$组的分配方案数，使得没有一个点和它的祖先在同一个组内。答案膜$10^9+7$输出。

分析

看到$\sum k\le10^5$和$m\le min(k,300)$，那么$O(km)$的算法一定是可行的。这样的分组方案数一般就是$dp$，但是由于是给出的点不方便树形$dp$，我们就直接按顺序$dp$。

定义$f[i]$表示给定的$k$个数中在$r$为根的情况下是$i$的祖先的点的数量。那么$f[ancestor(i)]<f[i]$一定成立。所以我们按$f[i]$排序之后就可以只用考虑当前点不能祖先放在一起，而没有后效性了。

定义$dp[i][j]$表示把前$i$个点分成了$j$组的方案数，由于我们知道$i$的祖先们肯定两两不在同一个组内，那么就可以这么写转移方程式：
$dp[i][j]=dp[i-1][j]\cdot (j-f[i])+dp[i-1][j-1]$我们将$j$倒序枚举就能够去掉第一维了。

如何求$f[i]$？$f[i]$其实就是$i$到$r$的路径上有效点的数量，这个用$BIT$维护就行了。不过还是要写个$lca$。

CODE

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAXN = 100005;
const int mod = 1e9 + 7;
const int MAXM = 305;
int n, q, k, m, r, f[MAXN], a[MAXN], dp[MAXM];
int dep[MAXN], dfn[MAXN], tmr;
int son[MAXN], fa[MAXN], top[MAXN], sz[MAXN];
vector<int>G[MAXN];
void dfs(int u, int ff) {
	dep[u] = dep[fa[u] = ff] + (sz[u] = 1);
	for(auto v : G[u])
		if(v != ff) {
			dfs(v, u), sz[u] += sz[v];
			if(sz[v] > sz[son[u]])
				son[u] = v;
		}
}
void dfs2(int u, int tp) {
	top[u] = tp; dfn[u] = ++tmr;
	if(son[u]) dfs2(son[u], tp);
	for(auto v : G[u])
		if(v != fa[u] && v != son[u])
			dfs2(v, v);
}
inline int lca(int u, int v) {
	while(top[u]^top[v]) {
		if(dep[top[u]] > dep[top[v]]) u = fa[top[u]];
		else v = fa[top[v]];
	}
	return dep[u] > dep[v] ? v : u;
}
int T[MAXN]; bool vis[MAXN];
inline void upd(int x, int val) {
	while(x <= n) T[x] += val, x += x&-x;
}
inline int qsum(int x) { int re = 0;
	while(x) re += T[x], x -= x&-x;
	return re;
}
inline bool cmp(int A, int B) { return f[A] < f[B]; }
int main () {
	scanf("%d%d", &n, &q);
	for(int i = 1, x, y; i < n; ++i)
		scanf("%d%d", &x, &y),
		G[x].push_back(y),
		G[y].push_back(x);
	dfs(1, 0); dfs2(1, 1);
	while(q--) {
		scanf("%d%d%d", &k, &m, &r);
		for(int i = 1; i <= k; ++i) {
			scanf("%d", &a[i]);
			int v = a[i];
			upd(dfn[v], 1), upd(dfn[v]+sz[v], -1), vis[v] = 1;
		}
		int qsumr = qsum(dfn[r]);
		for(int i = 1; i <= k; ++i) {
			int v = a[i], LCA = lca(r, v);
			f[v] = qsum(dfn[v]) + qsumr - 2*qsum(dfn[LCA]) + vis[LCA] - 1;
			//printf("f[%d] = %d  lca(r:%d, v:%d) = %d\n", v, f[v], r, v, LCA);
		}
		for(int i = 1; i <= k; ++i) {
			int v = a[i];
			upd(dfn[v], -1), upd(dfn[v]+sz[v], 1), vis[v] = 0;
		}
		sort(a + 1, a + k + 1, cmp);
		for(int j = 0; j <= m; ++j) dp[j] = 0;
		dp[0] = 1;
		for(int i = 1; i <= k; ++i) {
			int v = a[i];
			for(int j = min(i, m); j; --j) {
				if(j <= f[v]) dp[j] = 0;
				else dp[j] = (1ll * dp[j] * (j-f[v]) % mod + dp[j-1]) % mod;
			}
			dp[0] = 0;
		}
		int ans = 0;
		for(int j = 1; j <= m; ++j)
			ans = (ans + dp[j]) % mod;//, printf("dp[%d] = %d\n", j, dp[j]);
		printf("%d\n", ans);
	}
}