BZOJ 3162 / Luogu P4895: 独钓寒江雪 树hash+DP

题意

给出一棵无根树，求本质不同的独立集数模$1000000007$的值。

$n\le 500000$

题解

如果是有根树就好做多了。然而无根树可以找重心作为根，转化为有根树。

那么考虑有根树的本质不同的独立集数怎么求。

直接$dp$就行了。用$f[i][0]$表示$i$不选的独立集数，$f[i][1]$表示$i$要选的独立集数。

转移的时候要考虑本质是否不同。做法是树$hash$。把子节点的$hash$值排序后，值相同的子树拿出来一起考虑，用简单组合数计算。求组合数可以暴力求，总时间复杂度是$O(n)$的。

还有问题就是一颗无根树可能重心在边上，那么我们把这条边新建一个点作为根，同样$dp$就行了。求最终答案的时候要特别考虑一下。

时间复杂度$O(n\log n)$，因为要排序。

CODE

底数选的好$hash$可能随便过，否则就要多搞点信息进去，比如儿子个数什么的。。

#pragma GCC optimize (3)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
char cb[1<<15],*cs=cb,*ct=cb;
#define getc() (cs==ct&&(ct=(cs=cb)+fread(cb,1,1<<15,stdin),cs==ct)?0:*cs++)
void read(int &res){
	char ch; for(;!isdigit(ch=getc()););
	for(res=ch-'0';isdigit(ch=getc());res=res*10+ch-'0');
}
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
const int MAXN = 500005;
const int mod = 1e9 + 7;
const ULL p = 998244353;
int n, fir[MAXN], to[MAXN<<1], nxt[MAXN<<1], cnt;
inline void link(int u, int v) { to[++cnt] = v; nxt[cnt] = fir[u]; fir[u] = cnt; }
int rt[2];
int dfs(int u, int ff) {
	int re = 1, tmp; bool can = 1;
	for(int i = fir[u], v; i; i = nxt[i])
		if((v=to[i]) != ff) {
			re += (tmp = dfs(v, u));
			if(tmp<<1 > n) can = 0;
		}
	if(re<<1 < n) can = 0;
	if(can) rt[bool(rt[0])] = u;
	return re;
}
ULL hsh[MAXN];
int f[MAXN][2], c[MAXN], inv[MAXN];
inline bool cmp(int i, int j) { return hsh[i] < hsh[j]; }
inline int C(int N, int M) {
	int re = 1;
	while(M && re) re = 1ll * re * (N--) % mod * inv[M--] % mod;
	return re;
}
void dp(int u, int ff) {
	f[u][0] = f[u][1] = 1;
	hsh[u] = 233333;
	for(int i = fir[u], v; i; i = nxt[i])
		if((v=to[i]) != ff) dp(v, u);
	int cur = 0;
	for(int i = fir[u], v; i; i = nxt[i])
		if((v=to[i]) != ff) c[++cur] = v;
	sort(c + 1, c + cur + 1, cmp);
	for(int i = 1, j, v; i <= cur; i = j) {
		v = c[i];
		for(j = i; j <= cur && hsh[c[j]] == hsh[v]; ++j)
			hsh[u] = hsh[u] * p ^ hsh[c[j]];
		f[u][0] = 1ll * f[u][0] * C(((f[v][0]+f[v][1])%mod + j-i-1)%mod, j-i) % mod;
		f[u][1] = 1ll * f[u][1] * C((f[v][0] + j-i-1)%mod, j-i) % mod;
	}
	hsh[u] *= p * p;
	hsh[u] = (hsh[u] + (ULL)cur + 1ull) * p;
}
inline void pre(int N) {
	inv[0] = inv[1] = 1;
	for(int i = 2; i <= N; ++i) inv[i] = 1ll * (mod - mod/i) * inv[mod%i] % mod;
}
int main () {
	read(n); pre(n);
	for(int i = 1, u, v; i < n; ++i) read(u), read(v), link(u, v), link(v, u);
	dfs(1, 0);
	int r = rt[0];
	if(rt[1]) {
		r = ++n;
		for(int i = fir[rt[0]]; i; i = nxt[i]) if(to[i] == rt[1]) to[i] = r;
		for(int i = fir[rt[1]]; i; i = nxt[i]) if(to[i] == rt[0]) to[i] = r;
		link(r, rt[0]), link(r, rt[1]);
	}
	dp(r, 0);
	if(rt[1]) {
		int ans;
		if(hsh[rt[0]] != hsh[rt[1]]) ans = (1ll*f[rt[0]][0]*f[rt[1]][0]%mod + 1ll*f[rt[0]][0]*f[rt[1]][1]%mod + 1ll*f[rt[0]][1]*f[rt[1]][0]%mod) % mod;
		else ans = (C(f[rt[0]][0] + 1, 2) + 1ll*f[rt[0]][0]*f[rt[1]][1]%mod) % mod;
		printf("%d\n", ans);
	}
	else printf("%d\n", (f[r][0] + f[r][1]) % mod);
}