LGP9545 [HBTS-Pre 2023] 环山危路 学习笔记

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题意简述

给定一个 $n$ 个结点的竞赛图，每条边容量为 $1$。$m$ 次询问，每次给定 $k_i$ 个源点 $s_{i,j}$，$1$ 个汇点 $t_i$（保证所有 $s_i$ 与 $t_i$ 互不相同），求最大流。

$n\le 3\times {10}^3,m\le 3\times {10}^4$。

竞赛图的定义：满足任意两点间恰有一条有向边的简单图。

做法解析

直接跑最大流肯定不行，会爆。由于最大流最小割定理，我们求最大流不行就试试考虑最小割，因为这图是张竞赛图，我们可以期待其上的割有一些性质……？

确实有性质：对于两个点集 $S,T$，我们有 $f(S,T)+f(T,S)=|S|\times |T|$，因为 $S,T$ 的点两两有边相连。

另外，我们还有 $f(S,T)-f(T,S)=\sum _{u\in S}ou{d}_u-in{d}_u$。这是因为从 $S$ 连到 $T$ 的边会做出 $1$ 的贡献，从 $T$ 连到 $S$ 的边会做出 $-1$ 的贡献，$S$ 内部的边做出 $0$ 的贡献，化一下就可以得到上式。

所以我们就有 $f(S,T)=\frac{1}{2}(|S|\times |T|+\sum _{u\in S}ou{d}_u-in{d}_u)$。

这样，对于每个 $|S|$，我们最小化 $\sum _{u\in S}ou{d}_u-in{d}_u$ 并更新答案，就可以得出答案。

实现上就是先算一遍初始 $S$ 的答案，然后每次贪心地往 $S$ 里面加 $ou{d}_u-in{d}_u$ 最小的点尝试更新答案。

代码实现

真是精彩的签到！

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace obasic{
    template <typename _T>
    void readi(_T &x){
        _T k=1;x=0;char ch=getchar();
        for(;!isdigit(ch);ch=getchar())if(ch=='-')k=-1;
        for(;isdigit(ch);ch=getchar())x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
        x*=k;return;
    }
    template <typename _T>
    void writi(_T x){
        if(x<0)putchar('-'),x=-x;
        if(x>9)writi(x/10);
        putchar(x%10+'0');
    }
    template <typename _T>
    void minner(_T &x,_T y){x=min(x,y);}
};
using namespace obasic;
const int MaxN=3e3+5;
int N,M,T,K,X;char S[MaxN];
int deg[MaxN],vis[MaxN];
struct anob{int v,id;}P[MaxN];
bool cmpv(anob a,anob b){return a.v<b.v;}
int main(){
    readi(N),readi(M);
    for(int i=1;i<=N;i++){
        scanf("%s",S+1);
        for(int j=1;j<=N;j++)if(S[j]=='1')deg[i]++,deg[j]--;
    }
    for(int i=1;i<=N;i++)P[i]={deg[i],i};
    sort(P+1,P+N+1,cmpv);queue<int> q;
    for(int csiz,csum;M--;){
        readi(T),readi(K);csiz=K,csum=0;
        for(int i=1;i<=K;i++)readi(X),vis[X]=1,q.push(X),csum+=deg[X];
        int ans=(csiz*(N-csiz)+csum)/2;
        for(int i=1;i<=N;i++){
            auto [cv,cid]=P[i];
            if(cid==T||vis[cid])continue;
            csiz++,csum+=cv;minner(ans,(csiz*(N-csiz)+csum)/2);
        }
        writi(ans),puts("");
        while(!q.empty())vis[q.front()]=0,q.pop();
    }
    return 0;
}

反思总结

想求 $x$ 时，如果实在别的方法都不行，试试求 $x+y$ 和 $x-y$。
神奇吧，HBTS-Pre。