LGP8125 [BalticOI 2021] The short shank 学习笔记

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题意简述

有一列 $N$ 个元素，第 $i$ 个元素初始值 $t_i$，而后会被更新为 $\underset{j=lb=1}{\overset{rb=i}{min}}{t}_j+(i-j)$。现在给你 $D$ 个隔板，如果在第 $i$ 个和第 $i+1$ 个之间放置，则有效果：$\mathrm{\forall }j>i,l{b}_j=max(l{b}_j,i+1)$。问在合理安排隔板放置的情况下，$\sum [t_i<T]$ 的最小值。

$1\le D<N<2\times {10}^6,1\le T,t_i\le {10}^9$。

做法解析

首先我们发现，初始就有 $t_i\le T$ 的这部分贡献是救不回来的，我们称之为“特殊点”。我们只能争取初始 $t_i>T$ 的那些元素不被传染。

我们不妨来研究一下，在不设隔板的情况下传染的机制是怎么样的：直观感受上，这种每一时间右扩一格的东西很像一个一次函数——实际上也确实如此。以位置 $p$ 为横轴，时间 $t$ 为纵轴，我们发现：每个特殊点 $i$ 的传染模式形成一条斜率为 $1$、定义域左边界为 $i$ 的一次函数；最后每个点 $j$ 实际被传染到的时间就是这一大堆函数在 $j$ 处的取值取 $min$；而放隔板的作用就体现为斩断隔板左边的所有函数。

一个点若不被传染，那么

“沿着T取max”

代码实现

反思总结