ATR143B Counting Grids 学习笔记

ATR143B Counting Grids 学习笔记

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题意简述

现在需要将 $1\sim n^2$ 共 $n^2$ 个整数填进网格 $S$。定义一种方案合法当且仅当不存在 $S_{i,j}$ 满足：

$$\underset{k=1}{\overset{n}{max}}{S}_{i,k}=\underset{k=1}{\overset{n}{min}}{S}_{k,j}=S_{i,j}$$

。问合法方案数，答案对 $998244353$ 取模。

$n\le 500$。

做法解析

看起来就正难则反，不合法方案大概率比合法方案少且好算。

我们设不满足合法要求的元素为特殊元素，自然而然地我们要考虑其可能存在的数量，这关系到题目难度和是否使用容斥等工具。万幸地，这种特殊元素最多一个不然为什么洛谷只评了绿——如果有两个的话会相互矛盾（原因见图）：

开始计算不合法方案数。首先特殊元素可以放在任何地方，是为 $n^2$；如果特殊元素值为 $i$ 的话，那么它所在列有 $A_{i-1}^{n-1}$ 种填法，所在行有 $A_{n^2-i}^{n-1}$ 种填法，其它元素随便填，方案为 $(n-1{)}^2!$。总不合法方案数就是：

$$n^2(n-1{)}^2!\sum _{i=n}^{n^2-n+1}{A}_{i-1}^{n-1}{A}_{n^2-i}^{n-1}$$

。合法方案数就是 $n^2!$ 减去这玩意。

代码实现

最后一步别忘了取模！

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace obasic{
    typedef long long lolo;
    template <typename _T>
    void readi(_T &x){
        _T k=1;x=0;char ch=getchar();
        for(;!isdigit(ch);ch=getchar())if(ch=='-')k=-1;
        for(;isdigit(ch);ch=getchar())x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
        x*=k;return;
    }
    template <typename _T>
    void writi(_T x){
        if(x<0)putchar('-'),x=-x;
        if(x>9)writi(x/10);
        putchar(x%10+'0');
    }
};
using namespace obasic;
const int MaxNs=2.5e5,Mod=998244353;
lolo facr[MaxNs],finv[MaxNs];
namespace omathe{
    lolo fastpow(lolo a,lolo b,lolo p){
        lolo res=1;
        for(;b;(a*=a)%=p,b>>=1)if(b&1)(res*=a)%=p;
        return res;
    }
    lolo getinv(lolo a,lolo p){
        return fastpow(a,p-2,p);
    }
    lolo Aran(lolo n,lolo m,lolo p){
        return facr[n]*finv[n-m]%Mod;
    }
};
using namespace omathe;
void prework(int n){
    facr[0]=finv[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)facr[i]=facr[i-1]*i%Mod;
    finv[n]=getinv(facr[n],Mod);
    for(int i=n-1;~i;i--)finv[i]=finv[i+1]*(i+1)%Mod;
}
int N;lolo ans;
int main(){
    readi(N);prework(N*N);
    for(int i=N;i<=N*N-N+1;i++)(ans+=Aran(i-1,N-1,Mod)*Aran(N*N-i,N-1,Mod)%Mod)%=Mod;
    (ans*=N*N*facr[(N-1)*(N-1)]%Mod)%=Mod;ans=(facr[N*N]+Mod-ans)%Mod;
    writi(ans);
    return 0;
}

反思总结

简单组合题，如果题目形如“不合法当且仅当有元素满足……”，而且这种元素数量大概不多，那就考虑它能有几个。
如果确认只有一个的话，难度可能就骤减了。