LGP6620 [PUTS 2020A] 组合数问题 学习笔记

LGP6620 [PUTS 2020A] 组合数问题 学习笔记

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题意简述

计算 $\sum _{k=0}^{n}f(k)\times x^k\times \left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)$ 对 $p$ 取模的值。

其中，$f(k)$ 为一给定的 $m$ 次多项式 $f(k)=a_0+a_{1}k+a_2{k}^2+\cdots +a_m{k}^m$。

$n,x,p\le {10}^9,m\le {10}^3$

做法解析

蒟蒻不语，只是一味贺 这篇题解。

666 $n,x,p$ 仨玩意梅怡阁诗人。只有 $m$ 的数据范围还算拟人，果断猜想正解复杂度一定是只和 $m$ 有关的，比如 $O(m^2)$。然而我怎么能把这一大坨式子的复杂度绑到 $m$ 上面呢？

如果有一定的混凝土数学储备，这时候就会想到有个叫下降幂的东西。下降幂和组合数有这样一个性质：

$${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}\times k^{\underset{―}{m}}={\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-m}{k-m})}\times n^{\underset{―}{m}}$$

证明就是把两边都拆开，然后发现都消掉了。总之很优美。

然后普通多项式转下降幂多项式用到斯特林数，这玩意刚好是 $O(M^2)$ 的。这启示我们要做出来这题下降幂和斯特林数必不可少。

假设我们成功把 $f(k)$ 转成了下降幂多项式，那么就有：

$$\sum _{i=0}^m{b}_i{k}^{\underset{―}{i}}\times x^k\times {\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}=\sum _{i=0}^m{b}_i{x}^k{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-i}{k-i})}{n}^{\underset{―}{i}}$$

则原式可化为：

$$\sum _{k=0}^n\sum _{i=0}^m{b}_i{x}^k{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-i}{k-i})}{n}^{\underset{―}{i}}=\sum _{i=0}^m{b}_i{n}^{\underset{―}{i}}\sum _{k=0}^n{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-i}{k-i})}{x}^k$$

发现 $k$ 枚举到 $i$ 以下是没有意义的，于是再把式子化一下得到

$$\sum _{i=0}^m{b}_i{n}^{\underset{―}{i}}\sum _{k=i}^n{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-i}{k-i})}{x}^k=\sum _{i=0}^m{b}_i{n}^{\underset{―}{i}}\sum _{k=0}^{n-i}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-i}{k})}{x}^{k+i}$$

再把 $x^i$ 提出来得到：

$$\sum _{i=0}^m{b}_i{n}^{\underset{―}{i}}{x}^i\sum _{k=0}^{n-i}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-i}{k})}{x}^k$$

啪一下很快啊！我们发现里面那玩意似乎就是个二项式定理的样子！
如果看不出来的话我们给 $n-i$ 换元为 $t$：

$$\sum _{k=0}^t{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{t}{k})}{x}^t=(x+1{)}^t$$

这甚至还是 $b=1$ 的特殊形式下的式子。

好好好，现在原式就可以化为

$$\sum _{i=0}^m{b}_i{n}^{\underset{―}{i}}{x}^i(x+1{)}^{n-i}$$

• 好了，还有什么人，要提问？
• 我要。
• 他来了。
• 我算普通多项式转下降幂多项式，好吗？
• ao。

普通多项式转下降幂多项式这部分就是混凝土数学基本功了。直接上柿子，由：

$$x^n=\sum _{i=0}^n\left\{\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right\}{x}^{\underset{―}{i}}$$

可推得：

$$\sum _{i=0}^m{a}_i{k}^i=\sum _{i=0}^m{a}_i\sum _{j=0}^i{x}^{\underset{―}{j}}=\sum _{i=0}^m{k}^{\underset{―}{i}}\sum _{j=i}^m\left\{\begin{array}{c}j\\ i\end{array}\right\}{a}_j$$

（这一步转换有点难度，这么理解：显然在中式中，$x^{\underset{―}{j}}$ 在 $i\in [j,m]$ 的时候被算了）

也就是说 $$b_i=\sum _{j=i}^m\left\{\begin{array}{c}ji\end{array}\right\}{a}_j$$

斯特林数 $O(M^2)$ 递推。
啊啊这道题到此终于做完了。

最后我们算的柿子就是：

$$\sum _{i=0}^m((\sum _{j=i}^m\left\{\begin{array}{c}j\\ i\end{array}\right\}{a}_j)\times n^{\underset{―}{i}}{x}^i(x+1{)}^{n-i})$$

这道题就做完了！

代码实现

题目并不保证 $p$ 是质数，所以不能用费马小定理快速幂求逆元！我在这卡了一个小时 $QAQ$！

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace obasic{
    typedef long long lolo;
    template <typename _T>
    void readi(_T &x){
        _T k=1;x=0;char ch=getchar();
        for(;!isdigit(ch);ch=getchar())if(ch=='-')k=-1;
        for(;isdigit(ch);ch=getchar())x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
        x*=k;return;
    }
    template <typename _T>
    void writi(_T x){
        if(x<0)putchar('-'),x=-x;
        if(x>9)writi(x/10);
        putchar(x%10+'0');
    }
};
using namespace obasic;
const int MaxM=1e3+5;
lolo N,X,P,M,A[MaxM],B[MaxM];
lolo ssn[MaxM][MaxM],fans,xpo[MaxM];
namespace omathe{
    lolo fastpow(lolo a,lolo b,lolo p){
        lolo res=1;
        for(;b;(a*=a)%=p,b>>=1)if(b&1)(res*=a)%=p;
        return res;
    }
    lolo getinv(lolo a,lolo p){
        return fastpow(a,p-2,p);
    }
};
using namespace omathe;
int main(){
    readi(N),readi(X),readi(P),readi(M);
    for(int i=0;i<=M;i++)readi(A[i]);
    ssn[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=M;i++){
        for(int j=1;j<=M;j++){
            ssn[i][j]=(ssn[i-1][j-1]+j*ssn[i-1][j]%P)%P;
        }
    }
    xpo[M]=fastpow(X+1,N-M,P);
    for(int i=M-1;~i;i--)xpo[i]=xpo[i+1]*(X+1)%P;
    lolo cans,tmp1=1,tmp2=1;
    for(int i=0;i<=M;(tmp1*=(N-i))%=P,(tmp2*=X)%=P,i++){
        for(int j=i;j<=M;j++)(B[i]+=ssn[j][i]*A[j]%P)%=P;
        cans=B[i]*tmp1%P*tmp2%P*xpo[i]%P,(fans+=cans)%=P;
    }
    writi(fans);
    return 0;
}

反思总结

但是，为什么这道题要这么思考呢？

笔者和同机房巨佬 $w9095$ 进行了这样的交流：

我：巨佬，你有什么对这道题更高妙的理解吗？我感觉这道题的思考过程好像就是因为 $m$ 小然后就套路想到斯特林数之类的……
$w9095$：呃是这样的：据我所知，我在OI里碰见高次项（本题中就是 $x^k$）一般就两种想法，要么把它留在那，用某种方式预处理掉（线性筛、反演等等）；要么直接让它滚蛋，用斯特林数转下降幂，然后这玩意有很好的组合性质。
我：所以说在化下降幂、柿子推到那前你也看不出来那个二项式定理形式是吧。
$w9095$：是的，就是式子推到那了，然后发现其“恰好”满足二项式定理的形式。