UNV637 【美团杯2021 A】数据结构

题意简介

给定一个长度为 $n$ 的序列 $a$，序列的标号从 $1$ 开始，每一个位置是一个 $[1,n]$ 内的整数。有 $m$ 个操作，每次操作给出一个区间 $[l,r]$：这次操作会先将下标在
$[l,r]$ 中的所有元素加上 $1$，然后询问全局颜色数，并在最后撤销这次修改（也就是说操作之间互不影响）。

做法分析

问的是颜色数，也即考虑每一种数值出现与否。考虑每种数什么时候出现或不出现。一个数 $x$ 在一次询问做出贡献，要么原序列最左与最右的 $x$ 的下标构成的 $l,r$ 不被询问区间包含，要么原序列存在值为 $x-1$ 的元素下标被询问区间包含。上述条件反过来就是做不出贡献的情况。

由于这是CNDS考虑把询问离线下来，贡献加减变成矩形做扫描线。具体来说，这个扫描线长这个样子。我们记 $tot$ 为所有可达的数字（也就是说，那些无法在任何询问中出现的数字我们忽略不记），把每个数字做不出贡献的 $l,r$ 范围框定出来。

具体怎么框定？对于只能由 $x-1$ 加上来的数，其做不出贡献的 $l,r$ 对形如一个个 $l\in [x_i,x_i+t],r\in [x_i,x_i+t]$。（记为一类）（也即下图中 $3,6,8$ 的样子）

除此之外，其做不出贡献的区间形如 $l\in (ll,rl],r\in [lr,rr)$，其中 $lr,rl$ 分别为序列中最小和最大的的值为 $x$ 的下标，$ll,rr$ 分别为 $lr$ 左侧最靠近 $lr$ 的和 $rl$ 右侧最靠近 $rl$ 的，值为 $x-1$ 的下标。（记为二类）

特殊地，当存在 $x-1$ 位于两个 $x$ 之间时，$x$ 永远不会消失，因此特判掉，其不会带来任何扫描线。
（为什么这里维护做不出贡献的区间？因为区间数量少，空间复杂度有保证。）

举个例子：当序列为 $21247574$ 时：

（废话？预警）哦那么扫描线有多少条呢？首先一个矩形对应两条线，所以空间自带两倍常熟。二类贡献显然是每个 $O(1)$ 的。一类呢？观察到对于这样的每个 $x$，$x-1$ 出现 $k$ 次时，会有 $k+1$ 个正方形（不一定取满）。粗略地看，若总共有 $y$ 个这样的 $x$，每个 $x$ 出现 $k_i$ 次，可以认为空间就会占 $\sum _{i=1}^y{k}_i+1=\sum k_i+y$。又 $\sum k_i$ 可以认为是个定值，所以 $y$ 越多时空间占的就越多（说大白话就是每种 $x-1$ 只出现一次，每个正方形就出现两次，这个过程还要重复 $y$ 次，差不多等于说是两倍空间了）。

所以简简简而言之就是：存线段数组开四倍空间。

代码实现

找那啥二类的 $ll,rr$ 等等时，为防止 $ll,rr$ 不存在，往 $apr$ 里面塞 $0$ 和 $n+1$。
如果 tmp1 找到了 N+1要特殊处理。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace obasic{
    typedef vector<int> vecint;
    template <typename _T>
    void frdi(_T &x){
        _T k=1;x=0;char ch=getchar();
        for(;!isdigit(ch);ch=getchar())if(ch=='-')k=-1;
        for(;isdigit(ch);ch=getchar())x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
        x*=k;return;
    }
    template <typename _T>
    void fwri(_T x){
        if(x<0)putchar('-'),x=-x;
        if(x>9)fwri(x/10);
        putchar(x%10+'0');
    }
    template <typename _T>
    int lwberv(vector<_T> &vec,_T val){return *lower_bound(vec.begin(),vec.end(),val);}
};
using namespace obasic;
const int MaxN=1e6+5;
int N,M,A[MaxN],pre[MaxN],pap[MaxN];
int acnt[MaxN],tot,ans[MaxN];
struct quer{int x,y,id;}Q[MaxN];
bool cmp1(quer a,quer b){return a.x<b.x;}
vecint apr[MaxN];int scnt;
struct aseg{int x,ly,ry,v;}S[MaxN<<2];
void addrect(int lx,int rx,int ly,int ry){
    S[++scnt]={lx,ly,ry,1};
    S[++scnt]={rx+1,ly,ry,-1};
}
bool cmp2(aseg a,aseg b){return a.x<b.x;}
struct BinidTree{
    int n,t[MaxN];
    void init(int x){n=x,memset(t,0,sizeof(t));}
    int lowbit(int x){return x&(-x);}
    void add(int p,int x){for(;p<=n;p+=lowbit(p))t[p]+=x;}
    void update(int l,int r,int x){add(l,x),add(r+1,-x);}
    int gts(int p){int res=0;for(;p;p-=lowbit(p)){res+=t[p];}return res;}
}BidTr;
int main(){
    frdi(N),frdi(M);BidTr.init(N+1),tot=N+1;
    for(int i=0;i<=N+1;i++)apr[i].push_back(0);
    for(int i=1;i<=N;i++){
        frdi(A[i]);apr[A[i]].push_back(i);
        acnt[A[i]]++;pre[i]=pap[A[i]],pap[A[i]]=i;
    }
    for(int i=0;i<=N+1;i++)apr[i].push_back(N+1);
    int tmp1,tmp2,clx,crx,cly,cry;
    for(int i=1;i<=N+1;i++){
        int cc=acnt[i],pc=acnt[i-1];
        if(!cc){
            if(!pc){tot--;continue;}
            for(int j=1,p,q=0;j<=pc+1;j++){
                p=q,q=apr[i-1][j];
                if(q==p+1)continue;
                addrect(p+1,q-1,p+1,q-1);
            }
            continue;
        }
        tmp1=lwberv(apr[i-1],apr[i][1]);
        if(tmp1<apr[i][acnt[i]])continue;
        tmp2=lwberv(apr[i-1],apr[i][cc]);
        crx=apr[i][1],cly=apr[i][acnt[i]];
        clx=(tmp1==N+1?apr[i-1][pc]:pre[tmp1])+1,cry=tmp2-1;
        addrect(clx,crx,cly,cry);
        continue;
    }
    sort(S+1,S+scnt+1,cmp2);
    for(int i=1;i<=M;i++)frdi(Q[i].x),frdi(Q[i].y),Q[i].id=i;
    sort(Q+1,Q+M+1,cmp1);for(int i=1,p=1,q=1;i<=N+1;i++){
        for(;p<=scnt&&S[p].x==i;p++)BidTr.update(S[p].ly,S[p].ry,S[p].v);
        for(;q<=M&&Q[q].x==i;q++)ans[Q[q].id]=tot-BidTr.gts(Q[q].y);
    }
    for(int i=1;i<=M;i++)fwri(ans[i]),puts("");
    return 0;
}