差分学习笔记

文章引自 洛谷博客。

欢迎来到蒟蒻 $\texttt{Orange}$ 的差分学习笔记！

蒟蒻 $\texttt{Orange}$ 的第一篇笔记！（雾）

接下来是差分学习时刻！！

注：Orange 的 $\LaTeX$ 很差，装饰的很丑，不要介意（

附

回答评论区

催更树上差分（

By Liu_Kevin

别太猛，等 n 年后我会了再来吧（

不能虐待蒟蒻（（（

-f[c + 1][b], --f[a][d + 1]; 好像开头少了个减号（虽然基本没有影响...

By 追梦之鲸

感谢指出错误。 $\texttt{Orange}$ 已将其修正。/qq

树上差分不难的

不过我要O(n)-O(1)的(bushi

树上差分的话，O(nlogn)-O(1)还是可以的

By joy2010WonderMaker

都说了别太猛，怎么还有更猛的？？？（

算了，勉强接受吧，找时间更一下树上差分吧。。。。。 /kk

好厉害啊

By SiRiehn_nx

呜呜呜爷爷怎么fAKe啊 /kk

您一根头发都能吊打我 /kk

明明很菜啊 /ll

Update

$\texttt{2022.5.4}$ 修改了一处错误。

$\texttt{2023.1.10}$ 修改了一处错误。（感谢 @精神小伙！）

0. 概念

前缀和的逆运算。

举个栗子，有个数列 $a = {2,3,5,6,4}$，我们把他进行一个工作：令 $b_i = a_i - a_{i - 1}$。这样我们可以得到数列 $b = {2,1,2,1,-2}$。这个 $b$ 数列就是数列 $a$ 的差分数列。

上面说了，差分是前缀和的逆运算。于是，我们可以检验一下：

令数列 $c_i=b_i+b_{i-1}+\dots+b_1$，得到数列 $c={2,3,5,6,4}$，正好就是数列 $a$！惊不惊喜意不意外（

于是我们就知道差分是什么啦！

1. 用法

差分适用于多次区间修改，少次查询。查询时将差分数组前缀和一下就得到了被修改过后的原数组了。

2. 一维差分

直接举例：将区间 $[l,r]$ 每个数增加 $t$。

• 多次区间修改

日常的暴力算法，需要 $O(n)$ 的时间。如下是日常暴力算法：

for (int i = l; i <= r; ++i) a[i] += t;

然鹅差分算法，可以利用前缀和的性质，变成 $O(1)$ 的时间效率：

f[l] += d, f[r + 1] -= d;

所以，多次修改的题目，非常适用于差分 差分非常适用于这种题。（语病

• 不大适于单点修改

有的题目特殊，会抵消掉。

• 适于少次查询

因为每次查询都需要前缀和，时间效率是 $O(n)$，查询多了就会爆。

• 查询时前缀和

代码：

a[i] = a[i - 1] + f[i];

例题：P2367 语文成绩

差分模板走起来！

加一个取最小值就好！

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n, q, x, y, z, a[5000010], f[5000010], ans;

int main() {
    cin >> n >> q;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> a[i], f[i] = a[i] - a[i - 1];
    while (q--) {
        cin >> x >> y >> z;
        f[x] += z, f[y + 1] -= z;
    }
    ans = 0x3fffffff;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        a[i] = a[i - 1] + f[i];
        ans = min(ans, a[i]);
    }
    cout << ans;
}

3. 二维差分

就是，二维的差分（

首先我们试着求二维的差分数组。

以下面的数组为例：

1 2 1
4 5 2
7 8 3

（真的没办法弄 $\LaTeX$ 了……）

1. 相邻两列做减法

1 2 1 => 1 1 -1
4 5 2 => 4 1 -3
7 8 3 => 7 1 -5

2. 相邻两行做减法

1 2 1 => 1 1 -1 => 1 1 -1
4 5 2 => 4 1 -3 => 3 0 -2
7 8 3 => 7 1 -5 => 3 0 -2

于是就得到了差分数组！

还有一种更简单的方法：主对角线的和 $-$ 副对角线的和。

详见下面的图：

图很丑，能看就行（

红为主对角线，蓝为副对角线。

出了方格外的都是 $0$，所以数组要设大，减的时候还得减进去。

二维差分什么用呢？

显然， 二维的区间修改。

这样，把日常暴力算法的 $O(n^2)$ 的效率直接降到 $O(1)$。

++f[a][b], ++f[c + 1][d + 1];
--f[c + 1][b], --f[a][d + 1];

查询时前缀和即可。

f[i][j] += f[i - 1][j] + f[i][j - 1] - f[i - 1][j - 1];
cout << f[i][j] << " ";

例题：P3397 地毯

虽然说暴力可以过，但为了练习差分，还是要用差分的。（

直接上代码吧。（

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n, m, a, b, c, d, f[1010][1010];

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        cin >> a >> b >> c >> d;
        ++f[a][b], ++f[c + 1][d + 1];
        --f[c + 1][b], --f[a][d + 1];
        // O(1) 修改
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 1; j <= n; ++j) {
            f[i][j] += f[i - 1][j] + f[i][j - 1] - f[i - 1][j - 1]; // 前缀和
            cout << f[i][j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

然后就没有然后了。

4. 练习

• P3078

• P2434

• P4452

• P5542

更多精彩内容，敬请跳转至 Orange的做题笔记 查看 $\texttt{2022.5.1 - 2022.5.2}$ 的记录。

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