2024-04-06

2024-04-06

太空飞行计划问题

最小割模型

源点向实验连边，容量是收益
仪器向汇点连边，容量是花费

割掉一条边，代表放弃实验/购买仪器
合法的情况就是源点汇点不连通，代表要么买了仪器，要么用到这台仪器的所有实验都放弃

记录总收益为 sum，最小割为 res

\(ans=sum-res\)

（这题读入特别恶心）

切糕

没有 \(D\) 的限制的直接建 \(Z+1\) 层
第 \(k\) 层的一个位置 \((i,j)\) 向 \(k+1\) 层的这个位置连 \(\nu(i,j,k)\) 的边
如果割掉代表这个位置在这个点切开
源点向第一层连边，最后一层向汇点连边，便全都为正无穷
目的是切成两半，也就是切到源汇不连通，要求代价最小，直接最小割模板

考虑 \(D\) 的限制
若两个位置 \((x_1,y_1)\) 和 \((x_2,y_2)\) 相邻
我们从 \((x_1,y_1,z)\) 向 \((x_2,y_2,z-D)\) 连一条正无穷的边
这样的话
如果点 \((x,y,z)\) 往上边一层连的边被割掉了，由于还有相邻位置之间的边，源汇还是连通的，想要不连通，就要在相邻的位置在 \(z-D\) 之上割掉某一条边
如果我们在相邻位置割掉的是 \(z+D\) 之上的，那么在 \((x,y)\) 这个位置就还要再割边，这样一定不是最优秀的，所以最小割因为下面那条割掉的边就可以加回来了

这个技巧看起来很有用的样子，不知道之后还会不会用到，先记下来再说

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue> 

using namespace std;

const int N=66666,M=666666;
const int Inf=1e8;

const int dx[4]={-1,0,0,1};
const int dy[4]={0,-1,1,0};

int X,Y,Z,D;
int s,t;

int hd[N],edg[M],cap[M],nxt[M],idx;
int dep[N],cur[N];

void adde(int u,int v,int w) {
	edg[idx]=v,cap[idx]=w,nxt[idx]=hd[u],hd[u]=idx++;
	edg[idx]=u,cap[idx]=0,nxt[idx]=hd[v],hd[v]=idx++;
}

bool bfs() {
	queue<int> q;
	memset(dep,-1,sizeof(dep));
	dep[s]=0,cur[s]=hd[s];
	q.push(s);
	while(!q.empty()) {
		int u=q.front();
		q.pop();
		for(int i=hd[u];~i;i=nxt[i]) {
			int v=edg[i];
			if(dep[v]==-1&&cap[i]) {
				dep[v]=dep[u]+1;
				cur[v]=hd[v];
				if(v==t) return true;
				q.push(v);
			}
		}
	}
	return false;
}

int dfs(int u,int lim) {
	if(u==t) return lim;
	int flw=0;
	for(int i=cur[u];~i&&flw<lim;i=nxt[i]) {
		cur[u]=i;
		int v=edg[i];
		if(dep[v]==dep[u]+1&&cap[i]) {
			int tmp=dfs(v,min(cap[i],lim-flw));
			if(!tmp) dep[v]=-1;
			cap[i]-=tmp,cap[i^1]+=tmp;
			flw+=tmp;
		}
	}
	return flw;
}

int dinic() {
	int res=0,flw;
	while(bfs()) while(flw=dfs(s,Inf)) res+=flw;
	return res;
}

int getid(int x,int y,int z) {
	return ((x-1)*Y+y-1)*Z+z;
}

int main() {
	memset(hd,-1,sizeof(hd));
	scanf("%d%d%d%d",&X,&Y,&Z,&D);
	Z++;
	s=0,t=X*Y*Z+1;
	for(int k=1;k<Z;k++) {
		for(int i=1;i<=X;i++) {
			for(int j=1;j<=Y;j++) {
				int w;
				scanf("%d",&w);
				adde(getid(i,j,k),getid(i,j,k+1),w);
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=X;i++) {
		for(int j=1;j<=Y;j++) {
			adde(s,getid(i,j,1),Inf);
			adde(getid(i,j,Z),t,Inf);
		}
	}
	for(int x1=1;x1<=X;x1++) {
		for(int y1=1;y1<=Y;y1++) {
			for(int dr=0;dr<4;dr++) {
				int x2=x1+dx[dr],y2=y1+dy[dr];
				if(x2<1||x2>X||y2<1||y2>Y) continue;
				for(int k=D+1;k<Z;k++)
					adde(getid(x1,y1,k),getid(x2,y2,k-D),Inf);
			}
		}
	}
	printf("%d\n",dinic());
	
	return 0;
} 

aqz and qjy大佬帮我配好了VS Code，%%%，以后不用DEV了