2024-03-28

2024-03-28

$\mathrm{到}\mathrm{成}\mathrm{都}\mathrm{集}\mathrm{训}\mathrm{来}\mathrm{了}!$

晚上自习

YY的GCD

$Problem$
$i\in [1,n],j\in [1,m]m,n\le {10}^7$，$T\le {10}^4$ 组询问，求 $gcd(i,j)$ 是素数的 $(i,j)$ 对数

$Solution$

$$\begin{array}{rl}ans& =\sum _{p\in primes}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m[gcd(i,j)=p]\\ & =\sum _{p\in primes}\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{p}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{p}\rfloor }[gcd(i,j)=1]\end{array}$$

莫比乌斯函数有一个小性质

$$\sum _{d\mid x}\mu (d)=[x=1]$$

$$\therefore [gcd(i,j)=1]=\sum _{d\mid gcd(i,j)}\mu (d)$$

$$\therefore ans=\sum _{p\in primes}\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{p}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{p}\rfloor }\sum _{d\mid gcd(i,j)}\mu (d)$$

考虑改变求和顺序
先枚举 $k=gcd(i,j)$，则 $i,j$ 均是 $k$ 的倍数

$$ans=\sum _{p\in primes}\sum _{k=1}^{min(\lfloor \frac{n}{p}\rfloor ,\lfloor \frac{m}{p}\rfloor )}\sum _{d\mid k}\mu (d)\times \lfloor \frac{n}{pk}\rfloor \times \lfloor \frac{m}{pk}\rfloor$$

接下来（按照题解说的）是常见的变换方式
设 $t=pk$

$$\begin{array}{rl}ans& =\sum _{p\in primes}\sum _{k=1}^{min(\lfloor \frac{n}{p}\rfloor ,\lfloor \frac{m}{p}\rfloor )}\sum _{d\mid k}\mu (d)\times \lfloor \frac{n}{t}\rfloor \times \lfloor \frac{m}{t}\rfloor \\ & =\sum _{t=1}^{min(n,m)}\lfloor \frac{n}{t}\rfloor \times \lfloor \frac{m}{t}\rfloor \sum _{p\in primes,p\mid t}\mu (\frac{t}{p})\end{array}$$

$k$ 的约数不用再枚举的原因是：$t$ 实际上枚举的是 $p$和 $k$的所有约数 的乘积，已经考虑过了

最后面的和式可以在线性筛的时候预处理
剩下的数论分块

时间复杂度 $O(n+T\sqrt{n})$

$Code$

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int N=1e7+100;

ll n,m;

int primes[N],cntp;
bool st[N];
int mu[N];
ll sm[N];

void init_mu(int mx) {
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=mx;i++) {
		if(!st[i]) primes[++cntp]=i,mu[i]=-1;
		for(int j=1;i*primes[j]<=mx;j++) {
			st[i*primes[j]]=true;
			if(i%primes[j]==0) {
				mu[i*primes[j]]=0;
				break;
			}
			mu[i*primes[j]]=-mu[i]; 
		}
	}
	for(int j=1;j<=cntp;j++)
		for(int i=1;i*primes[j]<=mx;i++)
			sm[i*primes[j]]+=mu[i]*1ll;
	for(int i=1;i<=mx;i++) sm[i]+=sm[i-1];
}

int main() {
	init_mu(1e7+10);
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while(T--) {
		scanf("%lld%lld",&n,&m);
		if(n>m) swap(n,m);
		ll lft=1,rgh,ans=0;
		while(lft<=n) {
			rgh=min(n,min(n/(n/lft),m/(m/lft)));
			ans+=(sm[rgh]-sm[lft-1])*(n/lft)*(m/lft);
			lft=rgh+1;
		}
		printf("%lld\n",ans); 
	}
	
	return 0;
} 

GCD SUM

做完前边几个题，这个就很简单了

不写解析了

完蛋还没写完但是要回去了

回宿舍交了，过了

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int N=1e5+100;

int primes[N],cntp;
bool st[N];
ll mu[N],sm[N];

void init_mu(int mx) {
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=mx;i++) {
		if(!st[i]) primes[++cntp]=i,mu[i]=-1;
		for(int j=1;i*primes[j]<=mx;j++) {
			st[i*primes[j]]=true;
			if(i%primes[j]==0) {
				mu[i*primes[j]]=0;
				break;
			}
			mu[i*primes[j]]=-mu[i];
		}
	}
	for(int i=1;i<=mx;i++) sm[i]=sm[i-1]+mu[i];
}

ll n;

int main() {
	scanf("%lld",&n);
	init_mu(n+10);
	ll ans=0;
	for(int g=1;g<=n;g++) {
		int m=n/g;
		int lft=1,rgh;
		ll res=0;
		while(lft<=m) {
			rgh=min(m,m/(m/lft));
			res+=(sm[rgh]-sm[lft-1])*(m/lft)*(m/lft); 
			lft=rgh+1;
		}
		ans+=g*res;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	
	return 0;
}