二叉搜索树
二叉搜索树学习笔记
这篇文章是学习平衡树的铺垫
什么是二叉搜索树
二叉搜索树，又名二叉查找树、二叉排序树，是满足以下性质的一种树形结构
- 每一个节点的左子树里的所有节点上的权值，都比这个节点的权值小
- 每一个节点的右子树里的所有节点上的权值，都比这个节点的权值大
举个例子，就长这样：
其中每个节点都有编号和权值（还有一些其它玩意儿），所以定义结构体存节点
struct Node{
int l,r;//左右儿子的编号
int val;//这个节点的权值
int cnt;//计数器，有用的
}tr[N];
一个简单的结论
有了刚才那样特殊的性质，我们只要稍微思考一下就能得出以下结论：
- 一颗二叉排序树的中序遍历的顺序是从小到大排好序的
为什么哩？
所谓中序遍历，就是说按照左根右的顺序遍历一棵树
先遍历左子树，再遍历根，再遍历右子树
加上刚才的二叉搜索树的定义，左子树都小，右子树都大，很容易得出结论
例如：刚才上面那棵树的中序遍历就是 \(1 2 3 5 7 8 9\)
简易代码
void Medium_order(int u)
{
if(tr[u].l)
Medium_order(tr[u].l);
cout<<tr[u].val<<' ';
if(tr[u].r)
Medium_order(tr[u].r);
}
And...then?
所以，这个结论到底有用嘛……
当然有用！有了杰个结论，二叉搜索树就能动态维护一个有序的数列，并支持以下操作
支持的操作
- \(insert\) 插入一个节点
- \(remove\) 删除一个节点
以上是没有技术含量的基本操作
插入 insert
插入的基本思路
就是从根节点开始看
如果要插入的结点的值比当前考虑的节点的值小，递归到左子树插入
否则如果比当前的值大，递归到右子树插入
到最后如果找到了一个和待插入的节点的值相同的节点，把当前节点的计数器 \(cnt\)++ 就行
如果到最后也没有找到相同的节点，说明这样的结点之前并不存在，新开一个节点即可
图示
# 1 插入一个节点，值为 \(4\)（原先不存在）
# 2 插入一个节点，值为 \(9\)（原先已存在）
代码
先写一个开新节点的函数
int newnode(int x)
{
idx++;
tr[idx].val=x;
return idx;
}
\(insert\)
void insert(int p,int x)
{
if(x<tr[p].val)
{
if(tr[p].l)
insert(tr[p].l,x);
else
tr[p].l=newnode(x);
}else if(x>tr[p].val){
if(tr[p].r)
insert(tr[p].r,x);
else
tr[p].r=newnode(x);
}else tr[p].cnt++;
}
删除 remove
删除叶节点非常好办，直接找到之后 \(×\) 掉就行
但是不是叶子的话就麻烦了，对于我们学习平衡树也没有太大作用
所以这一部分就咕咕掉了（平衡树删除跟它一点关系都没，也挺好办的）
基本操作到此结束，下面来一些高级点的
- \(get\_max\) 查询最大值
- \(get\_min\) 查询最小值
最大值 & 最小值
思路非常简单
每一个点的右子树里所有点权值都比这个点大
所以从根节点开始找，一直往右走，不撞南墙不回头
走到的最后一个点就是最大值
最小值同理，一直向左走，走到不能走为止
图示
代码
代码咕咕咕喽 ψ(._. )>
嘿嘿（毕竟是平衡树为平衡树的铺垫，扯得太多了）
二阶操作结速，看看最高级操作
-
\(get\_prev\) 求一个节点的前驱
-
\(get\_next\) 求一个节点的后继
某个节点的前驱和后继就是中序遍历中这个节点前面和后面的节点
换句话说就是
权值小于该节点的点中权值最大的
and
权值大于该节点的点中权值最小的
怎么求呢？
求前驱 get_prev
分类讨论
如果一个点，他有左子树，那么显然他的前驱就在左子树里，而且还是左子树里的最大的那个值
那么我们只要先向左走一步，走到到左儿子
然后按照刚才说的找最大值的思路，在左子树中一直向右走，走到不能走为止就行辣；
那……如果这个点的左子树为空呢？
那就又要分类讨论了
第一种情况：
如果该点是其父节点的右儿子，那么父节点就是它的前驱
证明：
没有左子树又是父亲的右儿子，就说明，除了 父亲节点 和 父亲的左子树里的所有点 之外，没有其他点的权值比他小了
而 父节点 的权值又比 父节点的左子树里的所有点的权值们 都要大
所以它的父节点就是他的前驱
第二种情况
如果是父节点的左儿子，就一路直着往上跳，跳到第一次拐弯就停
拐弯的意思就是原来都是从左儿子往上跳，直到有一次，是从右儿子向上跳了
也就是这样
图示
刚才的图太简陋了，包含的情况不全，再重新画一颗复杂一点的树
为了方便检验答案的正确性，我们直接把权值置为连续的自然数 \(1~26\)
# 1 首先找 \(21\) 的前驱，对应我们分析的第一种情况
# 2 再找 \(23\) 的前驱，对应第二种
# 3 最后找 \(4\) 的前驱，对应最后一种情况
求后继 get_next
思路
刚好和求前驱反过来
有右儿子的话，就是右子树里的最小值
没有的话，如果是父亲的左儿子，那后继就是父亲，父亲就是后继
如果是右儿子，就一直往上跳，直到拐弯为止
应该很好理解吧……
图示?
和上面求前驱的图一样，就是把箭头反过来……
因为一个点一定是 这个点的前驱 的后继（废话文学）
尾声
二叉搜索树 到这里就讲完了
其实还没有结束
因为二叉搜索树有一个致命的缺点！
他需要改进
这里我卖个关子，等到下一篇平衡树里再说
（白白bye/）
