二叉搜索树

二叉搜索树学习笔记

这篇文章是学习平衡树的铺垫

什么是二叉搜索树

二叉搜索树，又名二叉查找树、二叉排序树，是满足以下性质的一种树形结构

• 每一个节点的左子树里的所有节点上的权值，都比这个节点的权值小
• 每一个节点的右子树里的所有节点上的权值，都比这个节点的权值大

举个例子，就长这样：

其中每个节点都有编号和权值（还有一些其它玩意儿），所以定义结构体存节点

struct Node{
	int l,r;//左右儿子的编号
	int val;//这个节点的权值 
	int cnt;//计数器，有用的 
}tr[N]; 

一个简单的结论

有了刚才那样特殊的性质，我们只要稍微思考一下就能得出以下结论：

• 一颗二叉排序树的中序遍历的顺序是从小到大排好序的

为什么哩？

所谓中序遍历，就是说按照左根右的顺序遍历一棵树

先遍历左子树，再遍历根，再遍历右子树

加上刚才的二叉搜索树的定义，左子树都小，右子树都大，很容易得出结论

例如：刚才上面那棵树的中序遍历就是 $1235789$

简易代码

void Medium_order(int u)
{
	if(tr[u].l)
		Medium_order(tr[u].l);
	cout<<tr[u].val<<' ';
	if(tr[u].r)
		Medium_order(tr[u].r);
}

And...then?

所以，这个结论到底有用嘛……

当然有用！有了杰个结论，二叉搜索树就能动态维护一个有序的数列，并支持以下操作

支持的操作

• $insert$ 插入一个节点
• $remove$ 删除一个节点

以上是没有技术含量的基本操作

插入 insert

插入的基本思路

就是从根节点开始看

如果要插入的结点的值比当前考虑的节点的值小，递归到左子树插入

否则如果比当前的值大，递归到右子树插入

到最后如果找到了一个和待插入的节点的值相同的节点，把当前节点的计数器 $cnt$++ 就行

如果到最后也没有找到相同的节点，说明这样的结点之前并不存在，新开一个节点即可

图示

# 1 插入一个节点，值为 $4$（原先不存在）

# 2 插入一个节点，值为 $9$（原先已存在）

代码

先写一个开新节点的函数

int newnode(int x)
{
	idx++;
	tr[idx].val=x;
	return idx;
}

$insert$

void insert(int p,int x)
{
	if(x<tr[p].val)
	{
		if(tr[p].l)
			insert(tr[p].l,x);
		else
			tr[p].l=newnode(x);
	}else if(x>tr[p].val){
		if(tr[p].r)
			insert(tr[p].r,x);
		else
			tr[p].r=newnode(x);
	}else tr[p].cnt++;
}

删除 remove

删除叶节点非常好办，直接找到之后 $\times$ 掉就行

但是不是叶子的话就麻烦了，对于我们学习平衡树也没有太大作用

所以这一部分就咕咕掉了（平衡树删除跟它一点关系都没，也挺好办的）

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基本操作到此结束，下面来一些高级点的

• $get\mathrm{\_}max$ 查询最大值
• $get\mathrm{\_}min$ 查询最小值

最大值 & 最小值

思路非常简单

每一个点的右子树里所有点权值都比这个点大

所以从根节点开始找，一直往右走，不撞南墙不回头

走到的最后一个点就是最大值

最小值同理，一直向左走，走到不能走为止

图示

代码

代码咕咕咕喽 ψ(._. )>

嘿嘿（毕竟是平衡树为平衡树的铺垫，扯得太多了）

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二阶操作结速，看看最高级操作

• $get\mathrm{\_}prev$ 求一个节点的前驱

• $get\mathrm{\_}next$ 求一个节点的后继

某个节点的前驱和后继就是中序遍历中这个节点前面和后面的节点

换句话说就是

权值小于该节点的点中权值最大的

and

权值大于该节点的点中权值最小的

怎么求呢？

求前驱 get_prev

分类讨论

如果一个点，他有左子树，那么显然他的前驱就在左子树里，而且还是左子树里的最大的那个值

那么我们只要先向左走一步，走到到左儿子

然后按照刚才说的找最大值的思路，在左子树中一直向右走，走到不能走为止就行辣；

那……如果这个点的左子树为空呢？

那就又要分类讨论了

第一种情况：

如果该点是其父节点的右儿子，那么父节点就是它的前驱

证明：

没有左子树又是父亲的右儿子，就说明，除了 父亲节点 和 父亲的左子树里的所有点 之外，没有其他点的权值比他小了

而 父节点 的权值又比 父节点的左子树里的所有点的权值们 都要大

所以它的父节点就是他的前驱

第二种情况

如果是父节点的左儿子，就一路直着往上跳，跳到第一次拐弯就停

拐弯的意思就是原来都是从左儿子往上跳，直到有一次，是从右儿子向上跳了

也就是这样

图示

刚才的图太简陋了，包含的情况不全，再重新画一颗复杂一点的树

为了方便检验答案的正确性，我们直接把权值置为连续的自然数 $126$

# 1 首先找 $21$ 的前驱，对应我们分析的第一种情况

# 2 再找 $23$ 的前驱，对应第二种

# 3 最后找 $4$ 的前驱，对应最后一种情况

求后继 get_next

思路

刚好和求前驱反过来

有右儿子的话，就是右子树里的最小值

没有的话，如果是父亲的左儿子，那后继就是父亲，父亲就是后继

如果是右儿子，就一直往上跳，直到拐弯为止

应该很好理解吧……

图示?

和上面求前驱的图一样，就是把箭头反过来……

因为一个点一定是 这个点的前驱 的后继（废话文学）

尾声

二叉搜索树 到这里就讲完了

其实还没有结束

因为二叉搜索树有一个致命的缺点！

他需要改进

这里我卖个关子，等到下一篇平衡树里再说

（白白_bye/）