[数据结构]二叉树
二叉树
二叉树(binary)是一种特殊的树。二叉树的每个节点最多只能有2个子节点。
图-二叉树的结构示意/实现逻辑（这棵树只有展示用途，没有实际意义）
因为子节点的个数确定了，所以每一个节点只需要两个指针，一个指向当前节点的左子节点(left children)，一个指向右子节点(right children)。
二叉搜索树（二叉查找树）
我们以二叉搜索树作为一个例子。
前文出现的树只作为展示示例，而并没有什么实际意义。
现在，我们考虑为二叉树的数据存放增加一个条件：每个节点都不比它左子树的任意元素小，而且不比它的右子树的任意元素大。
所谓左子树，就是把它的左子节点视为一个根节点之后，这个根节点下的树。右子树同理。
增加了上述这个条件后，我们就得到了 二叉搜索树。
我们对{ 6，3，5，1，8，7，9 }这组数据，选取“8”作为根节点（关键值），构造一个二叉搜索树：。
图-二叉搜索树
构造了这样的结构之后，我们可以更快的对数据进行搜索。我们按照以下逻辑对数据x进行查找：
1. 如果x等于根节点，那么找到x，停止搜索 (终止条件)
2. 如果x小于根节点，那么搜索左子树，回到第一步
3. 如果x大于根节点，那么搜索右子树，回到第一步
我们在进行搜索时，对二叉搜索树进行操作的最大次数就是这棵树的深度。
*在使用C语言构造搜索二叉树的过程中，你可能会发现“删除”操作异常麻烦。有一种简单的替代操作，称为懒惰删除(lazy deletion)。在懒惰删除时，我们并不真正从二叉搜索树中删除该节点，而是将该节点标记为“已删除”。这样，我们只用找到元素并标记，就可以完成删除元素了。如果有相同的元素重新插入，我们可以将该节点找到，并取消删除标记。。树所占据的内存空间不会因为删除节点而减小。懒惰节点实际上是用内存空间换取操作的简便性。
二叉树的遍历
中序遍历（Inorder Traversal）：从根节点开始，先处理左子树，左子树所有元素处理完毕之后，再处理当前根节点，再处理右子树。
后序遍历（Postorder Traversal）：从根节点开始，先处理左子树，左子树所有元素处理完毕之后，再处理右子树，右子树所有元素处理完毕之后，再处理当前根节点。
先序遍历（Preorder Traversal）：从根节点开始，先处理当前根节点，然后处理左子树，左子树所有元素处理完毕之后，再处理右子树。
我们以 树 那篇随笔中的这棵表达式树为例：
图-表达式树
中序遍历结果：(a+(b*c)) + ((d*e)+f)*g)
后序遍历结果：abc*+de*f+g*+
先序遍历结果：++a*bc*+*defg
AVL树
AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树（Self-Balancing Binary Search Tree,简称平衡二叉树）。
AVL树是满足以下条件的树：
条件一：它必须是二叉查找树。
条件二：每个节点的左子树和右子树的高度差至多为1。
维持住条件二，可以保证AVL树的查找、插入、删除操作在平均和最坏的情况下，操作复杂度都是O(log n)。那么为了维持条件二，我们需要对AVL树进行动态的调整，在每一次数据改动之后，对节点进行调整使AVL树持续满足条件二。
如果我们使用C语言来构造一棵AVL树，那么在之前二叉树的基础上，一个节点中应当包含以下四个数据：
1、当前节点的数据；2、当前节点的高度；3、指向左子节点的指针；4、指向右子节点的指针。
每当对AVL树的节点进行操作之后，我们需要判断AVL树是否仍然维持平衡，也就是每个节点左右子树的高度差是否仍小于等于一。
比如，我们现在有一棵二叉树{4，5}，我们需要向其中增加一个数据 6 。按照二叉搜索树的要求，我们会把它加入右子树的右节点，但此时对于根节点“4”来说，左子树高度为0，右子树高度为2，这棵AVL树很明显失衡了，所以我们需要对它进行调整。
图-插入数据后失衡的AVL树的单左旋调整
还有以下操作下的若干调整方式：
图-单右旋调整
图-先左旋后右旋调整
图-先右旋后左旋调整
其实可以发现，每种节点的加入方式都对应了一种调整方式，如下
| 类型 | 使用情形 |
|---|---|
| 单左旋 | 在左子树插入左孩子节点，使得平衡因子绝对值由1增至2 |
| 单右旋 | 在右子树插入右孩子节点，使得平衡因子绝对值由1增至2 |
| 先左旋后右旋 | 在左子树插入右孩子节点，使得平衡因子绝对值由1增至2 |
| 先右旋后左旋 | 在右子树插入左孩子节点，使得平衡因子绝对值由1增至2 |
删除节点也可能导致AVL树的失衡，实际上删除节点和插入节点是一种互逆的操作：
1、删除右子树的节点导致AVL树失衡时，相当于在左子树插入节点导致AVL树失衡。
2、删除左子树的节点导致AVL树失衡时，相当于在右子树插入节点导致AVL树失衡。
