极大容量的完全背包问题

题目大意：

就是题目名称的意思，有n种物品，一个容量为m的背包，每种物品的体积为$a_i$，价值为$b_i$，有$n<=10^6,m<=10^{18},a_i,b_i<=100$。求最大价值。

解题方法：

因为m很大，所以我们考虑将较大的体积为S的背包分为较小的两个背包，其中一个体积为x，则另一个S-x。

这时讨论abs(x-(S-x))的范围，可以推出其<=maxv(物品的最大体积)。因为单独对两个背包操作，两边会有余留下来的部分，将其中一个余留下来的部分补到另一个去可能会得到更忧解。但如果移动的部分大于maxv了则放在两个背包中的任意一个都可以得到最优解。所以我们成功将枚举区间缩小到了$\frac{S-maxv} {2} <=x<= \frac{S+maxv} {2}$。

然后我们类似分治的套路将图画出来：

发现$Max -Min < 2\times maxv$并且最底层(即$Min>0$的最后一层)的$Min <= maxv,Max<=3 \times maxv$，所以我们可以预处理出$3\times maxv$大小的背包就可以得到最底层的解，然后我们可以记录每层最小值$L[i]$即最左边的点的权值，设$g[i][j]$表示在第i层时比$L[i]$容量大j的背包的最优解，枚举x逐层向上转移即可，转移方程：$g[i][v-L[i]]=max(g[i+1][x-L[i+1]]+g[i+1][v-x-L[i+1]])$。

因为一开始给了$10 ^ 6$种物品，然而因为最多有$100\times 100$种物品，所以可以用set去重。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define del(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
const int MAXN=1e5+10;
ll n,m,tot;
set<int> ap[110];
ll f[MAXN],g[55][MAXN],L[55],a[MAXN],b[MAXN];
void Max(ll &a,ll b){a=(a>b? a:b);}
template <class T>void read(T &x)
{
    bool f=0;char ch=getchar();x=0;
    for(;ch<'0' || ch>'9';ch=getchar())if(ch=='-') f=1;
    for(;ch>='0' && ch<='9';ch=getchar())x=x*10+ch-'0';
    if(f) x=-x;
}
int main()
{
    read(n);read(m);
    ll maxv=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        ll x,y;read(x);read(y);
        if(ap[x].find(y)!=ap[x].end()) continue;
        a[++tot]=x;b[tot]=y;ap[x].insert(y);
        Max(maxv,a[tot]);
    }
    ll s=m,cnt=0;
    while(s>0)
    {
        L[++cnt]=s;
        s=(s-maxv)>>1;
    }
    for(int i=1;i<=tot;i++)
    for(int v=a[i];v<=maxv*3;v++)
        Max(f[v],f[v-a[i]]+b[i]);
    for(int i=cnt;i>=1;i--)
    for(ll v=L[i];v<=L[i]+maxv*2;v++)
    {
        if(v<=maxv*3) g[i][v-L[i]]=f[v];
        else
        {
            for(ll x=(v-maxv)>>1;x<=v>>1;x++)
            Max(g[i][v-L[i]],g[i+1][x-L[i+1]]+g[i+1][v-x-L[i+1]]);
        }
    }
    printf("%lld",g[1][0]);
    return 0;
}