可列 有限

自然数集、 有理数集、 代数数集都是可列集。
实数集、复数集、直线点集、 平面点集都是不可列集（或不可数集）。
有限集都可以说是自然数的真子集，当然可列，但没有可列有限集这个词。不这到叫。
下面是分析。
区分集合的有限和无限，是根据集合的基数。
说通俗点（但不够科学）就是集合中元素的个数。用数字，1，2，……表示。
如集合{1，2，3}有三个元素，基数是3。基数(cardinal number)也叫势(cardinality)。
集合的基数是任何一个具体数字时，就叫做有限集合。
而当一个集合的基数超过自然数的范围，就是说比任何一个自然数都要大时。就是无限集合。
比如全体自然数是第一个无限集合。它的基数叫做阿列夫零，阿列夫(aleph)，是希伯来文字母表的第一个字母。很难写，就不给你写了。我用(aleph)表示。
无限集合和有限集合有一个本质的区别是，
每个有限集合都大于它的真子集。像{1，2，3}比{1，2}大。
而无限集合在有时候“等于”它的某些真子集。
用集合的语言就是映射，即它和它的一个子集能形成一一对应关系。
比如，全体自然数{1，2，3，……}对应于{1，4，9，……}，明显，后者是前者的真子集。
但确实，你说出任何一个自然数，都有一个它的平方和它对应，而且也是自然数。
所以，阿列夫零(aleph)0有个性质，那就是，(aleph)零=(aleph)零+1。其实，你随便加多少都一样。
同样你也能看到，全体整数也和自然数对应。它们有同样的基数(aleph)零。也就是(aleph)零+(aleph)零=(aleph)零。
用专业的话叫做等势。通俗点讲就是，我去掉它的一半，它还有原来相等。这就是它的无限性。
无限下的运算不能按常规下的来，但它的运算法则，也可以说清楚。
其实，全体自然数，整数，以及自然数中那种1，4，9，……等数列的基数都相等，就是(aleph)零，连全体有理数的基数也是(aleph)零。证明这些的关键是，能在这两种集合之间的构造出一个一一对应关系的映射。
下面再解决可列与不可列的问题。
但并不是所有无限集合都和全体自然数，也就是基数为(aleph)零的无限数能构成一一对应。比如，实数。当然全体实数也是无限的，但它却和自然数之间构造不出一一对应关系。所以，在全体实数这个无穷之上，还有更大的无穷。其实，根据无限的定义，就可以知道，有比(aleph)零大的无穷。比如，2的(aleph)零次方（专业的叫法是它的幂集，不写它了）。也就是说，(aleph零)<2^(aleph零)，我们叫，2^(aleph零)=(aleph壹)。
甚至这个问题可以接着往下数。所有这些都叫做超限数。
但我们知道，全体自然数是可以列举出来的。所以，这种集合我们叫它可列。
但我们同时知道，全体实数是无法列出来的，甚至用一个无限集也无法把它间接列出来。
全体有理数虽然本身无法全部列举，可是我们却可以用全体自然数和它之间建立一个一一映射关系。比如，把全体有理数，表示成，……q(0)，q(1)，q(2)，……，所以它也可列。这是可以严格证明的，但全体实数无法给出这种证明。所以，它就是不可列的。
我不给你说清楚的界线，是因为目前还有些问题没有解决。
比如，全体实数的基数是我们知道的第一个不可列无穷基数，我们叫它为C。
但它在上面(aleph)系列中对应于谁现在还没有解决。集合论的创始人康托尔本人，认为，实数的基数C=(aleph壹)。
但在阿列夫数之间有没有什么超限数？比如说，有没有一个数比阿列夫零大、比阿列夫1小？康妥确信不存在这种数。他的猜测成为著名的广义连续统假设。
这是二十世纪最著名的数学问题之一。
这是一个今天还在发展着的前沿。