1.目标函数
已知数据样本：
\[X = \left( \begin{matrix}
x_1^{(1)} &x_2^{(1)} &\cdots &x_n^{(1)}\\
x_1^{(2)} &x_2^{(2)} &\cdots &x_n^{(2)}\\
\vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\
x_1^{(m)} &x_2^{(m)} &\cdots &x_n^{(m)}
\end{matrix} \right)
,
Y = \left( \begin{matrix}
y^{(1)}\\
y^{(2)}\\
\vdots\\
y^{(m)}
\end{matrix} \right)
\]
其中\(m\)是样本数，\(n\)是\(X\)的特征维度。\(y^{(i)}, i=1, 2, \cdots, m\)为对应的样本得到的观测值。
假设通过某种手段（算法）得到\(x^{(i)}\)与\(y^{(i)}\)的模型关系为\(\widehat {y^{(i)}} = f(x^{(i)})\)。这里\(\widehat {y^{(i)}}\)对应着预测值。最小二乘法的目标函数（损失函数）定义为：
\[J(\theta) = \frac{1}{2}\sum_{i=0}^m\left( y^{(i)} - \widehat {y^{(i)}} \right)^2 = \frac{1}{2}\sum_{i=0}^m\left( y^{(i)} - f(x^{(i)};\theta) \right)^2
\]
这里\(\frac{1}{2}\)是为了后面求解消去2，\(\theta\)为\(x\)到\(y\)映射关系函数\(f\)的参数，是求解的对象。要通过目标函数来求解\(\theta\)，使得\(\theta\)能令目标函数取得最小值。
2.求解
要求\(J(\theta)\)取得最小值时\(\theta\)的值，可以通过对\(J(\theta)\)的\(\theta\)进行求导，然后令导数为零得到方程（组）进行求解。假设\(f(x^{(i)};\theta)\)对\(\theta\)的一次偏导存在，为\(\frac {\partial f(x^{(i)};\theta)} {\partial \theta}\)，则：
\[\frac {\partial J(\theta)} {\partial \theta} = -\sum_{i=0}^m\left( y^{(i)} - f(x^{(i)};\theta) \right) \frac {\partial f(x^{(i)};\theta)} {\partial \theta}
\]
令上式等于0，\(\sum_{i=0}^m\left( y^{(i)} - f(x^{(i)};\theta) \right) \frac {\partial f(x^{(i)};\theta)} {\partial \theta}=0\)即可求出\(\theta\)。
3.线性关系的代数解法
如果\(f\)为线性的关系，即（增加\(x_0^{(i)}=1\)的项）
\[f(x^{(i)};\theta)=\theta_0x_0^{(i)} + \theta_1x_1^{(i)} + \cdots + \theta_nx_n^{(i)} = \sum_{j=0}^n\theta_jx_j^{(i)}, i=1, 2, \cdots, m
\]
于是有\(\frac {\partial f(x^{(i)};\theta)} {\partial \theta_j}=x_j^{(i)}\)，代入\(\frac {\partial J(\theta)} {\partial \theta}\)得：
\[\frac {\partial J(\theta)} {\partial \theta_j} = -\sum_{i=0}^m\left( y^{(i)} -\sum_{j=0}^n\theta_jx_j^{(i)} \right) x_j^{(i)}
\]
对于\(j=0, 1, 2, \cdots, n\)，由上式等于0可以组成\(n+1\)个方程的方程组：
\[\begin{cases}
\sum_{i=0}^m\left( y^{(i)} -\sum_{j=0}^n\theta_jx_j^{(i)} \right) x_0^{(i)} = 0\\
\sum_{i=0}^m\left( y^{(i)} -\sum_{j=0}^n\theta_jx_j^{(i)} \right) x_1^{(i)}=0\\
\sum_{i=0}^m\left( y^{(i)} -\sum_{j=0}^n\theta_jx_j^{(i)} \right) x_2^{(i)}=0\\
\cdots \\
\sum_{i=0}^m\left( y^{(i)} -\sum_{j=0}^n\theta_jx_j^{(i)} \right) x_n^{(i)}=0
\end{cases}
\]
解这个方程组即可得到使得目标函数取最小值的\(\theta\)。
4.线性关系的矩阵解法
由\(f(x^{(i)};\theta)=\theta_0x_0^{(i)} + \theta_1x_1^{(i)} + \cdots + \theta_nx_n^{(i)}\)，把所有样本写成矩阵的形式为\(f(X;\theta)=X\theta\)，这里的\(X\)增加了\(x_0=1\)的项，为\(m\times (n+1)\)的矩阵，\(\theta\)为\(n+1\)的列向量。目标函数可以写为：
\[\begin{aligned}
J(\theta) &= \frac{1}{2}(X\theta-Y)^T(X\theta-Y)\\
&=\frac{1}{2}(\theta^TX^T-Y^T)(X\theta-Y)\\
&=\frac{1}{2}(\theta^TX^TX\theta - \theta^TX^TY-Y^TX\theta + Y^TY)
\end{aligned}
\]
对\(\theta\)求导得：
\[\frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta} = \frac{1}{2}(2X^TX\theta - X^TY - (Y^TX)^T) = \frac{1}{2}(2X^TX\theta - 2X^TY) = X^TX\theta - X^TY
\]
令其为0，得\(X^TX\theta = X^TY\)，然后容易求得：
\[\theta = (X^TX)^{-1}X^TY
\]
5.注意
求解的过程，要求\(X^TX\)的逆矩阵，如果数据量很大，是很耗时的。
逆矩阵是有可能不存在，这时可以加入大于0的扰动\(\lambda\)，即求\(X^TX+\lambda I\)的逆矩阵。
对于\(f\)是线性的，上面的推导说明是可以求解的，如果\(f\)不是线性的，可能会导致无法求解。
