《信号与系统》（一）
信号与系统
https://www.icourse163.org/course/XDU-483006
西安电子科技大学
一、信号与系统概述
信号的基本概念和分类
1.信号的分类：确定与随机，连续与离散
确定信号：可用确定时间函数表示的信号
随机信号：信号不能用确切的函数描述，只可能知道它的统计特性比如概率
连续时间信号：连续时间范围有定义的信号
离散时间信号：仅在一些离散的瞬间才有定义的信号
2.信号的分类：周期与非周期
周期信号：每隔一定时间T或整数N，按相同规律重复变化的信号
3.信号的分类：能量与功率信号，因果与反因果
\(E=\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^{2} \mathrm{~d} t\)，\(P \stackrel{\text { def }}{=} \lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}|f(t)|^{2} \mathrm{~d} t\)
能量有限信号：信号的能量\(E<\infin , P=0\)
功率有限信号：信号的功率\(P<\infin,E=\infin\)
因果信号：\(t<0,f(t)=0\)的信号【即\(t=0\)时接入系统的信号,比如阶跃信号】
反因果信号：\(Y>=0,f(t)=0\)的信号
基本信号
1.阶跃函数
\(\varepsilon(t)=\lim _{n \rightarrow \infty} \gamma_{n}(t)= \begin{cases}0, & t<0 \\ 1, & t>0\end{cases}\)
积分\(\int^f_{-\infin}\varepsilon(\tau)d\tau = t\varepsilon(t)\)
2.冲激函数
单位冲激函数：是奇异函数，它是对强度极大，作用时间极短的物理量的理想化模型
\(\left\{\begin{array}{l}\delta(t)=0, \quad t \neq 0 \\ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) d t=1\end{array}\right.\)
冲激函数与阶跃函数的关系：\(\delta(t)=\frac{\mathrm{d} \varepsilon(t)}{\mathrm{d} t} \quad \varepsilon(t)=\int_{-\infty}^{t} \delta(\tau) \mathrm{d} \tau\)
3.冲激函数的取样性质 ：
\(f(t) \delta(t-a)=f(a) \delta(t-a)\)
\(\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-a) \mathrm{d} t=f(a)\)
4.冲激函数的导数
冲激偶\(\delta^{\prime}(t)\)的定义：\(\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta^{\prime}(t) \mathrm{d} t=-f^{\prime}(0)\)
\(\delta^{n}(t)\) ：\(\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta^{(n)}(t) \mathrm{d} t=(-1)^{n} f^{(n)}(0)\)
5.冲激函数的尺度变化
\(\delta(at)\)的定义 \(\delta^{n}(a t)=\frac{1}{|a|} \frac{1}{a^{n}} \delta^{n}(t)\)
推广结论：
(1) \(\delta\left(a t-t_{0}\right)=\delta\left[a\left(t-\frac{t_{0}}{a}\right)\right]=\frac{1}{|a|} \delta\left(t-\frac{t_{0}}{a}\right)\)
(2) 当 \(a=-1\) 时 \(\quad \delta^{(n)}(-t)=(-1)^{n} \delta^{(n)}(t)\)
\(\delta(-t)=\delta(t)\) 为偶函数
\(\delta^{\prime}(-t)=-\delta^{\prime}(t)\) 为奇函数
信号的运算
1.单位脉冲序列与单位阶跃序列
单位脉冲序列 \(\delta(k)\)
单位阶跃序列 \(\varepsilon(k)\)
关系：\(\delta(k)=\varepsilon(k)-\varepsilon(k-1)\)
\(\varepsilon(k)=\sum_{i=-\infty}^{k} \delta(i)\)
或 \(\varepsilon(k)=\sum_{j=0}^{\infty} \delta(k-j)=\delta(k)+\delta(k-1)+\ldots\)
2.信号的加减乘运算：同一时刻两信号之值对应加减乘
3.信号的反转：\(f(t)\to f(-t)\) 称为对信号的反转或反折。从图形上看试讲信号以纵坐标为轴反转180°。
4.信号的平移：\(f(t)\to f(t-t_0)\)，若\(t_0>0\) 信号右移，否则左移
5.信号的尺度变化：\(f(t)\to f(at)\)，若\(a>1\)，则波形沿横坐标压缩，若\(0<a<1\)，则展开
系统的概念及分类
1.系统定义与经典系统举例
2.系统分类：线性系统与非线性系统
线性系统是指满足线性性质的系统
其次性：\(af_{1} \longrightarrow a y_{1}\)
可加性：\(f_{2} \longrightarrow y_{2}\)，\(f_{1}+f_{2} \longrightarrow y_{1}+y_{2}\)
线性性： \(a f_{1}+b f_{2} \longrightarrow a y_{1}+b y_{2}\)
3.时变系统与时不变系统
时不变系统：系统输入延迟多少时间，其零状态响应也响应延迟多少时间。
\(f(t-t_d)\to y_{zs}(t-t_d)\)
主要讨论线性时不变系统：LTI系统
4.因果与非因果系统
因果系统指零状态响应不会出现在激励之前的系统
二、连续系统的时域分析
LTI连续系统的描述
1.连续系统的描述：电路图建立微分方程
2.微分方程的模拟框图
基本部件：\(y''(t)+a_1y'(t)+a_0y(t) = f(t)\)
基本运算：数乘、微分、相加
基本部件：加法器、数乘器、积分器
3.微分方程的经典解法
4.连续系统的初始值
初始值是n阶系统在t=0时接入激励，其响应在\(t=0_+\)时刻的值，即\(y^{(j)}(0_+)(j=0,1,2,....,n-1)\)
初始状态是指系统在激励尚未接入的\(t=0_-\)时刻的响应值\(y^{(j)}(0_-)\)，该值反映了系统的历史情况，而与激励无关。
LTI连续系统的响应
1.零输入响应，对应齐次微分方程，求齐次解
\(y_{zi}^{(j)}(0_+) = y_{zi}^{(j)}(0_-)=y^{(j)}(0_-)\)
2.零状态响应
\(y_{zs}^{(j)}(0_-) = 0,\ j=0,1,2,...,n-1\)
(1) 从\(y_{zs}^{(j)}(0_-) = 0\)求\(y_{zs}^{(j)}(0_+)\)，(2)\(y_{z s}^{(j)}\left(0_{+}\right)=y^{(j)}\left(0_{+}\right)-y_{z i}(j)\left(0_{+}\right)\)
3.响应分类
固有响应仅与系统本身的特性有关，而与激励的函数形式无关——齐次解，函数形式与特征方程的根有关
强迫响应与激励函数的形式有关——特解
暂态响应：指响应中暂时出现的分类，随着时间的增长，会消失
稳态响应是稳定分量，若存在，通常表现为阶跃函数和周期函数
4，冲激响应的定义和求法
冲激响应是由单位冲激函数\(\delta(t)\)所引起的零状态响应，记为\(h(t)\)。
\(h(t)\)隐含的条件：\(f(t) = \delta(t) ,\ h(0) = h'(0) = 0\)（对二阶系统）
5.阶跃响应的定义和求法
阶跃响应是由单位阶跃函数\(\varepsilon(t)\)所引起的零状态响应，记为\(g(t)\)。
\(g(t)\)隐含条件：\(f(t) = \varepsilon(t),\ g(0)=g'(0)=0\)
阶跃响应与冲激响应的关系为：\(g(t)=\int_{-\infty}^{t} h(\tau) \mathrm{d} \tau, \quad h(t)=\frac{\mathrm{d} g(t)}{\mathrm{d} t}\)
卷积积分的定义和性质
1.信号的时域分解：\(\lim _{\Delta \rightarrow 0} \hat{f}(t)=f(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) \delta(t-\tau) \mathrm{d} \tau\)
2.卷积公式：已知定义在区间\((-\infin,\infin)\)上的两个函数\(f_1(t)\)和\(f_2(t)\)，则定义积分
为\(f_1(t)\)和\(f_2(t)\)的卷积积分，简称卷积，记为\(f(t) = f_1(t)*f_2(t)\)
零状态响应：\(y_{z s}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) h(t-\tau) \mathrm{d} \tau=f(t) * h(t)\)
3.卷积积分的代数性质：
满足交换律，分配率和结合律
4.奇异函数的卷积特性
- \(f(t) * \delta(t)=\delta(t) * f(t)=f(t)\)
\(f(t)^{*} \delta\left(t-t_{0}\right)=f\left(t-t_{0}\right)\) - \(f(t)^{*} \delta^{\prime}(t)=f^{\prime}(t)\)
\(f(t)^{*} \delta^{(n)}(t)=f^{(n)}(t)\) - \(\begin{aligned} f(t) & * \varepsilon(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) \varepsilon(t-\tau) \mathrm{d} \tau=\int_{-\infty}^{t} f(\tau) \mathrm{d} \tau \\ & \varepsilon(t)^{*} \varepsilon(t)=t \varepsilon(t) \end{aligned}\)
5.卷积的微积分性质
- \(\frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{~d} t^{n}}\left[f_{1}(t) * f_{2}(t)\right]=\frac{\mathrm{d}^{n} f_{1}(t)}{\mathrm{d} t^{n}} * f_{2}(t)=f_{1}(t) * \frac{\mathrm{d}^{n} f_{2}(t)}{\mathrm{d} t^{n}}\)
- \(\int_{-\infty}^{t}\left[f_{1}(\tau) * f_{2}(\tau)\right] \mathrm{d} \tau=\left[\int_{-\infty}^{t} f_{1}(\tau) \mathrm{d} \tau\right]^{*} f_{2}(t)=f_{1}(t) *\left[\int_{-\infty}^{t} f_{2}(\tau) \mathrm{d} \tau\right]\)
- 在 \(f_{1}(-\infty)=0\) 或 \(f_{2}{ }^{(-1)}(\infty)=0\) 的前提下,\(f_{1}(t)^{*} f_{2}(t)=f_{1}^{\prime}(t)^{*} f_{2}^{(-1)}(t)\)
卷积积分的应用
1.卷积的时移特性
若 \(f(t)=f_{1}(t)^{*} f_{2}(t)\),
则 \(f_{1}\left(t-t_{1}\right) * f_{2}\left(t-t_{2}\right)=f_{1}\left(t-t_{1}-t_{2}\right) * f_{2}(t)\)\(=f_{1}(t)^{*} f_{2}\left(t-t_{1}-t_{2}\right)=f\left(t-t_{1}-t_{2}\right)\)
2.用梳状函数卷积产生周期信号
周期为T的周期单位冲激函数序列，称为梳状函数
\(f(t) * \delta_{T}(t)=f(t) * \sum_{m=-\infty}^{\infty} \delta(t-m T)=\sum_{m=-\infty}^{\infty} f(t-m T)\)
卷积结果：依然是周期信号，周期为T。\(T<\tau\)时，各相邻脉冲之间将会出现重叠，将无法使波形\(f(t)\)在\(f_T(t)\)的每个周期中重现。
3.矩阵脉冲的卷积产生三角形和梯形脉冲
两个不同宽的门函数卷积时，其结果为梯形函数，梯形函数的高度为窄门（面积），其上底为两个门函数宽度之差，下底为两个门函数宽度之和。
4.互相关和自相关函数的定义
比较某信号与另一延时\(\tau\)的信号之间的相似度，需要引入相关函数
互相关函数：
\(R_{12}(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty} f_{1}(t) f_{2}(t-\tau) d t=\int_{-\infty}^{\infty} f_{1}(t+\tau) f_{2}(t) d t\)
\(R_{21}(\tau)=\int^{\infty}_{-\infty} f_{1}(t-\tau) f_{2}(t) d t=\int^{\infty}_{-\infty} f_{1}(t) f_{2}(t+\tau) d t\)
三、离散系统的时域分析
差分方程的建立及经典解法
1.建立差分方程
移位序列：设有序列\(f(k)\)，则\(...,f(k+2),f(k+1),f(k-1),f(k-2)\)
后向差分（差分）：\(\nabla f(k)=f(k)-f(k-1)\)
m阶差分：\(\nabla^{\mathrm{m}} f(k)=f(k)+b_{1} f(k-1)+\ldots+b_{\mathrm{m}} f(k-m)\)
差分方程：由未知输出序列项与输入序列项构成的方程
LTI离散系统是线性常系数差分方程
2.差分方程模拟框图
3.差分方程的经典解法
①递推迭代：差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求其数值解。
②经典法：\(y(k)+a_{\mathrm{n}-1} y(k-1)+\ldots+a_{0} y(k-n)=b_{\mathrm{m}} f(k)+\ldots+b_{0} f(k-m)\)
解\(y(k) =y_h(k)+y_p(k)\)，齐次解和特解
4.零输入响应的定义和求解
零输入响应：离散系统的激励为0，仅由系统的初始状态引起的响应，用\(y_{zi}(k)\)表示。
\(y_{z i}(k)+a_{n-1} y_{z i}(k-1)+\cdots+a_{0} y_{z i}(k-n)=0\)
初始值确定：\(y_{z i}(-l)=y(-l), l=0,1,2, \ldots, n-1\)
求解步骤：(1)求解特征方程(2)设定齐次解(3)直接带入初始状态，求待定系数
5.零状态响应的定义和求解
零状态响应：系统的初始状态\(y_{zs}(-l)=o,l=1,2,3,...n\)为0，仅由激励\(f(k)\)引起的响应。
初始值确定：有迭代法求出初始值
基本信号
1.单位脉冲序列
\(\delta\left(k-k_{0}\right)= \begin{cases}1 & k=k_{0} \\ 0 & k \neq k_{0}\end{cases}\)
性质：
\(f(k) \delta(k)=f(0) \delta(k)\)
\(f(k) \delta\left(k-k_{0}\right)=f\left(k_{0}\right) \delta\left(k-k_{0}\right)\)
\(\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(k)=1\)
\(\sum_{k=-\infty}^{\infty} f(k) \delta(k)=f(0)\)
\(\sum_{k=-\infty}^{\infty} f(k) \delta\left(k-k_{0}\right)=f\left(k_{0}\right)\)
2.单位阶跃序列
\(\varepsilon(k)= \begin{cases}0, & k<0 \\ 1, & k \geq 0\end{cases}\)
关系：
\(\delta(k)=\varepsilon(k)-\varepsilon(k-1)\)
\(\varepsilon(k)=\sum_{i=-\infty}^{k} \delta(i)\)
连续信号与离散信号的类比
基本响应与卷积和定义
1.单位脉冲响应的定义和求解
单位脉冲序列\(\delta(k)\)所引起的零状态响应，用\(h(k)\)表示。
隐含条件\(f(k)=\delta(k),\ \ h(-1)=h(-2)=0\)对于二阶系统
单位脉冲响应与系统的零输入响应的函数形式相同，求解齐次方程
2.单位阶跃响应的定义和求解
单位阶跃序列\(\varepsilon(k)\)所引起的零状态响应，用\(g(k)\)表示。
隐含条件\(f(k)=\varepsilon(k),\ \ g(-1)=g(-2)=0\)
求齐次解和特解
3.单位阶跃响应与单位脉冲响应的关系
\(g(k) = \sum^k_{i=-\infin}h(i)\)
\(h(k) = \nabla g(k)=g(k)-g(k-1)\)
4.序列的时域分解
\(f(k)=\sum_{i=-\infty}^{\infty} f(i) h(k-i)\)
5.卷积和公式
\(y_{zs}(k)=\sum_{i=-\infty}^{\infty} f(i) h(k-i)\)
\(f(k)=\sum_{i=-\infty}^{\infty} f_1(i) f_2(k-i)\)
如果\(f_1(k)\)是因果序列，即有\(f_1(k)=0,k<0\) 则\(f(k)=\sum_{i=0}^{\infty} f_1(i) f_2(k-i)\)
如果\(f_2(k)\)是因果序列，即有\(f_2(k)=0,k<0\) 则\(f(k)=\sum_{i=-\infty}^{k} f_1(i) f_2(k-i)\)
如果\(f_1(k)f_2(2)\)都是因果序列，即有\(f_1(k)=f_2(k)=0,k<0\) 则\(f(k)=[\sum_{i=0}^{k} f_1(i) f_2(k-i)]\varepsilon(k)\)
卷积计算和与离散系统的差分算子描述
1.卷积和的性质
满足交换律、分配律和结合律
常用卷积公式
(1) \(f(k) * \delta(k)=f(k)\);
(2) \(f(k) * \delta\left(k-k_{0}\right)=f\left(k-k_{0}\right)\);
(3)\(\delta(k) * \delta(k)=\delta(k)\)
(4) \(f(k) * \varepsilon(k)=\sum_{i=-\infty}^{k} f(i)\);
(5) \(f_{1}\left(k-k_{1}\right) * f_{2}\left(k-k_{2}\right)=f_{1}\left(k-k_{2}\right) * f_{2}\left(k-k_{1}\right)\) \(=f_{1}(k) * f_{2}\left(k-k_{1}-k_{2}\right)=f_{1}\left(k-k_{1}-k_{2}\right) * f_{2}(k)\)
2.差分算子E的定义
\(E^{-1}\)——延迟算子，\(E\)——超前算子
\(\begin{array}{ll}E^{-1} f(k)=f(k-1), & E f(k)=f(k+1) \\ E^{-2} f(k)=f(k-2), & E^{2} f(k)=f(k+2) \\ E^{-n} f(k)=f(k-n), & E^{n} f(k)=f(k+n)\end{array}\)
3.离散系统的差分算子方程
差分方程：
\(\begin{aligned} & y(k)+a_{n-1} y(k-1)+\cdots+a_{0} y(k-n) \\=& b_{m} f(k)+b_{m-1} f(k-1)+\cdots+b_{0} f(k-m) \end{aligned}\)
算子方程：
\(\begin{aligned} & y(k)+a_{n-1} E^{-1} y(k)+a_{n-2} E^{-2} y(k)+\cdots+a_{0} E^{-n} y(k) \\=& b_{m} f(k)+b_{m-1} E^{-1} f(k)+b_{m-2} E^{-2} f(k)+\cdots+b_{0} E^{-m} f(k) \end{aligned}\)
4.传输算子
系统传输算子\(H(E)\)
\(H(E)=\frac{y(k)}{f(k)}=\frac{b_{m}+b_{m-1} E^{-1}+b_{m-2} E^{-2}+\cdots+b_{0} E^{-m}}{1+a_{n-1} E^{-1}+a_{n-2} E^{-2}+\cdots+a_{0} E^{-n}}\)
