组合数学水题 道
序言
教练原话:“你已经学会组合数学了,快去做一下高考题吧!”
取得了 17/19 的好成绩。其中有一题树算错了,不然就是 18/19 了。/cf/cf/cf。
P1
题目描述
由 可以组成的没有重复数字的五位奇数的个数为?
解法
考虑末尾是奇数只有 三种情况,而且首位不能为 ,也就是说首位有 种情况。
中间的数随便排,也就是 ,把上述三种情况结合一下,。
所以答案就是 个。
P2
题目描述
ABCDE 五个人站在一排,如果 AB 必须相邻且 B 在 A 的右边,求方案数。
解法
把 AB 看成一个组,那么题目转化为 个元素排列。
也就是 种情况。
P3
题目描述
个相同的小球分到 个不同的盒子中,每个盒子至少分一个,求方案数。
解法
隔板法,原问题转化为 个小球分成的 个空隙中插入 个板子,每种插板的方案对应了一种分配小球的方案。
答案也就是 。
P4
题目描述
个人平均分成三组(每组两个人),求方案数。
解法 1
对于每个组求情况。
对于第一组:六个人随便选两个,也就是 ;
对于第二组:剩下四个人随便选两个,也就是 ;
对于第三组:最后两个人挑两个,也就是没得选了,。
注意到产生了重复,例如 AB|CD|EF 和 AB|EF|CF 实质上是一样的分法。注意到这种情况一共有 种,那么就把前面的东西乘起来除以 即可。
答案为 。
解法 2
直接枚举六个人的全排列,再除掉非法情况。
答案为 。
P5
题目描述
个人平均分到不同的三组,每组两个人,求方案数。
解法
和上面那题一个思路。
似乎更简单了,直接考虑三个组分组情况,。
P6
题目描述
个不同的求放进两个不同的盒子,每个盒子最多装 个球,求方案数。
解法 1
分类讨论。
1.第一个盒子 个球,第二个盒子 个球。也就是 种方案。
2.第一个盒子 个球,第二个盒子 个球。同样地,是 种方案。
3.第一个盒子 个球,第二个盒子 个球。也就是 种方案。
加起来, 种方案。
解法 2
用所有合法的情况减去非法的情况。
。
P7
题目描述
级楼梯,可以一步上一级,也可以一步上两级,求方案数。
解法 1
递推。斐波那契这么弱智的玩意就不说了,手玩也可以。
解法 2
分类讨论。
1.每次只跨一级: 种走法。
2.有一次跨两级,把这以此走的两级绑在一起,也就剩下了 级,也就是 种走法。
3.有两次跨两级,把这两次走的两级绑在一起,也就剩下了 级,也就是 种走法。
4.有三次跨两级,
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