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组合数学水题 19

序言

教练原话:“你已经学会组合数学了,快去做一下高考题吧!”

取得了 17/19 的好成绩。其中有一题树算错了,不然就是 18/19 了。/cf/cf/cf。

P1

题目描述

0,1,2,3,4,5 可以组成的没有重复数字的五位奇数的个数为?

解法

考虑末尾是奇数只有 1,3,5 三种情况,而且首位不能为 0,也就是说首位有 4 种情况。

中间的数随便排,也就是 3!=24,把上述三种情况结合一下,3×4×24=288

所以答案就是 288 个。

P2

题目描述

ABCDE 五个人站在一排,如果 AB 必须相邻且 B 在 A 的右边,求方案数。

解法

把 AB 看成一个组,那么题目转化为 4 个元素排列。

也就是 4!=24 种情况。

P3

题目描述

10 个相同的小球分到 7 个不同的盒子中,每个盒子至少分一个,求方案数。

解法

隔板法,原问题转化为 10 个小球分成的 9 个空隙中插入 6 个板子,每种插板的方案对应了一种分配小球的方案。

答案也就是 C96

P4

题目描述

6 个人平均分成三组(每组两个人),求方案数。

解法 1

对于每个组求情况。

对于第一组:六个人随便选两个,也就是 C62
对于第二组:剩下四个人随便选两个,也就是 C42
对于第三组:最后两个人挑两个,也就是没得选了,C22

注意到产生了重复,例如 AB|CD|EF 和 AB|EF|CF 实质上是一样的分法。注意到这种情况一共有 3!=6 种,那么就把前面的东西乘起来除以 6 即可。

答案为 C62×C42×C22A33=15

解法 2

直接枚举六个人的全排列,再除掉非法情况。

答案为 6!23×3=15

P5

题目描述

6 个人平均分到不同的三组,每组两个人,求方案数。

解法

和上面那题一个思路。

似乎更简单了,直接考虑三个组分组情况,C62×C42×C22=90

P6

题目描述

6 个不同的求放进两个不同的盒子,每个盒子最多装 4 个球,求方案数。

解法 1

分类讨论。

1.第一个盒子 4 个球,第二个盒子 2 个球。也就是 C64=15 种方案。
2.第一个盒子 2 个球,第二个盒子 4 个球。同样地,是 C64=15 种方案。
3.第一个盒子 3 个球,第二个盒子 3 个球。也就是 C63=20 种方案。

加起来,15+15+20=50 种方案。

解法 2

用所有合法的情况减去非法的情况。

26A22×C65A22×C66=50

P7

题目描述

6 级楼梯,可以一步上一级,也可以一步上两级,求方案数。

解法 1

递推。斐波那契这么弱智的玩意就不说了,手玩也可以。

解法 2

分类讨论。

1.每次只跨一级:1 种走法。
2.有一次跨两级,把这以此走的两级绑在一起,也就剩下了 5 级,也就是 C51=5 种走法。
3.有两次跨两级,把这两次走的两级绑在一起,也就剩下了 4 级,也就是 C42=6 种走法。
4.有三次跨两级,

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