组合数学水题 $19$ 道
序言
教练原话：“你已经学会组合数学了，快去做一下高考题吧！”
取得了 17/19 的好成绩。其中有一题树算错了，不然就是 18/19 了。/cf/cf/cf。
P1
题目描述
由 \(0,1,2,3,4,5\) 可以组成的没有重复数字的五位奇数的个数为？
解法
考虑末尾是奇数只有 \(1,3,5\) 三种情况，而且首位不能为 \(0\)，也就是说首位有 \(4\) 种情况。
中间的数随便排，也就是 \(3!=24\)，把上述三种情况结合一下，\(3\times 4\times 24=288\)。
所以答案就是 \(288\) 个。
P2
题目描述
ABCDE 五个人站在一排，如果 AB 必须相邻且 B 在 A 的右边，求方案数。
解法
把 AB 看成一个组，那么题目转化为 \(4\) 个元素排列。
也就是 \(4!=24\) 种情况。
P3
题目描述
\(10\) 个相同的小球分到 \(7\) 个不同的盒子中，每个盒子至少分一个，求方案数。
解法
隔板法，原问题转化为 \(10\) 个小球分成的 \(9\) 个空隙中插入 \(6\) 个板子，每种插板的方案对应了一种分配小球的方案。
答案也就是 \(C_9^6\)。
P4
题目描述
\(6\) 个人平均分成三组（每组两个人），求方案数。
解法 1
对于每个组求情况。
对于第一组：六个人随便选两个，也就是 \(C_6^2\)；
对于第二组：剩下四个人随便选两个，也就是 \(C_4^2\)；
对于第三组：最后两个人挑两个，也就是没得选了，\(C_2^2\)。
注意到产生了重复，例如 AB|CD|EF 和 AB|EF|CF 实质上是一样的分法。注意到这种情况一共有 \(3!=6\) 种，那么就把前面的东西乘起来除以 \(6\) 即可。
答案为 \(\dfrac{C_6^2\times C_4^2\times C_2^2}{A_3^3}=15\)。
解法 2
直接枚举六个人的全排列，再除掉非法情况。
答案为 \(\dfrac{6!}{2^3\times 3}=15\)。
P5
题目描述
\(6\) 个人平均分到不同的三组，每组两个人，求方案数。
解法
和上面那题一个思路。
似乎更简单了，直接考虑三个组分组情况，\(C_6^2\times C_4^2\times C_2^2=90\)。
P6
题目描述
\(6\) 个不同的求放进两个不同的盒子，每个盒子最多装 \(4\) 个球，求方案数。
解法 1
分类讨论。
1.第一个盒子 \(4\) 个球，第二个盒子 \(2\) 个球。也就是 \(C_6^4=15\) 种方案。
2.第一个盒子 \(2\) 个球，第二个盒子 \(4\) 个球。同样地，是 \(C_6^4=15\) 种方案。
3.第一个盒子 \(3\) 个球，第二个盒子 \(3\) 个球。也就是 \(C_6^3=20\) 种方案。
加起来，\(15+15+20=50\) 种方案。
解法 2
用所有合法的情况减去非法的情况。
\(2^6-A_2^2\times C_6^5-A_2^2\times C_6^6=50\)。
P7
题目描述
\(6\) 级楼梯，可以一步上一级，也可以一步上两级，求方案数。
解法 1
递推。斐波那契这么弱智的玩意就不说了，手玩也可以。
解法 2
分类讨论。
1.每次只跨一级：\(1\) 种走法。
2.有一次跨两级，把这以此走的两级绑在一起，也就剩下了 \(5\) 级，也就是 \(C_5^1=5\) 种走法。
3.有两次跨两级，把这两次走的两级绑在一起，也就剩下了 \(4\) 级，也就是 \(C_4^2=6\) 种走法。
4.有三次跨两级，
