组合数学水题 $19$ 道

序言

教练原话：“你已经学会组合数学了，快去做一下高考题吧！”

取得了 17/19 的好成绩。其中有一题树算错了，不然就是 18/19 了。/cf/cf/cf。

P1

题目描述

由 $0,1,2,3,4,5$ 可以组成的没有重复数字的五位奇数的个数为？

解法

考虑末尾是奇数只有 $1,3,5$ 三种情况，而且首位不能为 $0$，也就是说首位有 $4$ 种情况。

中间的数随便排，也就是 $3!=24$，把上述三种情况结合一下，$3\times 4\times 24=288$。

所以答案就是 $288$ 个。

P2

题目描述

ABCDE 五个人站在一排，如果 AB 必须相邻且 B 在 A 的右边，求方案数。

解法

把 AB 看成一个组，那么题目转化为 $4$ 个元素排列。

也就是 $4!=24$ 种情况。

P3

题目描述

$10$ 个相同的小球分到 $7$ 个不同的盒子中，每个盒子至少分一个，求方案数。

解法

隔板法，原问题转化为 $10$ 个小球分成的 $9$ 个空隙中插入 $6$ 个板子，每种插板的方案对应了一种分配小球的方案。

答案也就是 $C_9^6$。

P4

题目描述

$6$ 个人平均分成三组（每组两个人），求方案数。

解法 1

对于每个组求情况。

对于第一组：六个人随便选两个，也就是 $C_6^2$；
对于第二组：剩下四个人随便选两个，也就是 $C_4^2$；
对于第三组：最后两个人挑两个，也就是没得选了，$C_2^2$。

注意到产生了重复，例如 AB|CD|EF 和 AB|EF|CF 实质上是一样的分法。注意到这种情况一共有 $3!=6$ 种，那么就把前面的东西乘起来除以 $6$ 即可。

答案为 $\dfrac{C_6^2\times C_4^2\times C_2^2}{A_3^3}=15$。

解法 2

直接枚举六个人的全排列，再除掉非法情况。

答案为 $\dfrac{6!}{2^3\times 3}=15$。

P5

题目描述

$6$ 个人平均分到不同的三组，每组两个人，求方案数。

解法

和上面那题一个思路。

似乎更简单了，直接考虑三个组分组情况，$C_6^2\times C_4^2\times C_2^2=90$。

P6

题目描述

$6$ 个不同的求放进两个不同的盒子，每个盒子最多装 $4$ 个球，求方案数。

解法 1

分类讨论。

1.第一个盒子 $4$ 个球，第二个盒子 $2$ 个球。也就是 $C_6^4=15$ 种方案。
2.第一个盒子 $2$ 个球，第二个盒子 $4$ 个球。同样地，是 $C_6^4=15$ 种方案。
3.第一个盒子 $3$ 个球，第二个盒子 $3$ 个球。也就是 $C_6^3=20$ 种方案。

加起来，$15+15+20=50$ 种方案。

解法 2

用所有合法的情况减去非法的情况。

$2^6-A_2^2\times C_6^5-A_2^2\times C_6^6=50$。

P7

题目描述

$6$ 级楼梯，可以一步上一级，也可以一步上两级，求方案数。

解法 1

递推。斐波那契这么弱智的玩意就不说了，手玩也可以。

解法 2

分类讨论。

1.每次只跨一级：$1$ 种走法。
2.有一次跨两级，把这以此走的两级绑在一起，也就剩下了 $5$ 级，也就是 $C_5^1=5$ 种走法。
3.有两次跨两级，把这两次走的两级绑在一起，也就剩下了 $4$ 级，也就是 $C_4^2=6$ 种走法。
4.有三次跨两级，