萌熊3月S题解

A

如果想要 \(i\) 成为 \(\verb!mex!\)，那么 \(0\) 到 \(i-1\) 的数都要选上，\(i\) 不选，而 \(>i\) 的乱选就可以了。

我们分别从 \(0\) 到 \(k\) 考虑每个 \(i\) 成为 \(\verb!mex!\) 的情况（为什么是 \(0\) 到 \(k\)？很显然，要是 \(i>k\) 的话前面就凑不出来完整的 \(0\) 到 \(i-1\) 了），也就是从 \(n-1-i\) 个数中选 \(k-i\) 个，即 \(C(n-i-1,k-i)\)。

最后还要算上普通情况，就是开局从这些数中选 \(k\) 个，即乘上 \(C(n,k)\)。

求组合数的时候可以用逆元解，但还特判一些情况，例如 \(k=n\) 时，答案为 \(0\) 等等。

B

这题我是用乱搞做法（肯定不是正解），要听正解可以看官方的

遇到这种题先暴力打表找规律。

写一个十重循环不难得出以下的表：

然后把他交上去就有 \(20\) 分的好成绩。

现在开始找规律：

这种题大部分都是逆元、快速幂乘起来，所以我们考虑将一个大数分解质因数，再找规律，这里可以找同一行/列的。

比如第四行第五列的 \(10350\)，分解出来就是 \(2\times 3^2 \times 5^2 \times 23\)；

第五行第五列的 \(86250\) 分解出来就是 \(2\times 3\times 5^4 \times 23\)；

第六行第五列的 \(646875\) 分解出来就是 \(3^2 \times 5^5\times 23\)。

发现这三个数都有个 \(23\)，而且跟第一行第五列的 \(69\) 是 \(3\) 的倍关系，去掉 \(23\) 和 \(3\)，现在 \(10350\) 还剩下 \(\{2,3,5,5\}\)，\(86250\) 还剩下 \(\{2,5,5,5,5\}\)，\(646875\) 还剩下 \(\{3,5,5,5,5,5\}\) 。

三个数中还有这么多个 \(5\)，那就把 \(5\) 也去掉一部分注意不能全去掉 \(5\)，不然后面就没规律可以找了。

第四行的数剩了两个 \(5\)，第五行的数剩了四个 \(5\)，第六行的数剩了五个 \(5\)，也就是说，他们至少还存在着 \(n-2\) 个 \(5\)，把这些 \(5\) 也去掉：

分别剩下 \(\{2,3\}\)，\(\{2,5\}\)，\(\{3,5\}\)，乘起来得出 \(6,10,15\)，发现这就是 \(\dfrac{n\times (n-1)}{2}\)（\(n\) 是行数，在这里分别是 \(4,5,6\)）。

然后就做完了？

整理一下，答案就是 \(a_m\times \dfrac{n\times (n-1)}{2}\times m^{n-2}\)，这个 \(a_m\) 代表第二行的数组。

\(a\) 数组怎么求？zhx 讲过，不等差数列可以用若干个循环节数组，求若干次前缀和得出

将 \(\{1,2,4,2,4,2,4,...\}\) 求 \(3\) 遍前缀和就得出了 \(\{1,5,16,36,69\}\)，然后就做完了

C

类似诈骗题，原本想写个模拟结果直接冲了过去（）

用两个栈，分别正序/倒序扫一遍数组，把所有符合 \(a_i>s.top\) 的数连一条从 \(a_i\) 到 \(s.top\) 的边，并且 \(\verb!pop!\) 掉，一直到不满足为止。

因为正序倒序都来了一遍，所以可以通过这些边数来处理答案数组 \(vis\)。\(vis_{i,j}\) 表示从 \(i\) 是否能到 \(j\)。

根据传递闭包，从 \(i\) 到 \(j\) 的和 \(j\) 到 \(k\) 的可以推出 \(i\) 也能到 \(j\)，所以直接把 \(vis_i\) 全部设为 \(1\)（大前提：要存在一条边），二维数组这么操作麻烦，考虑用 \(\verb!bitset!\)，复杂度为 \(\dfrac{n}{32}\)，最后判断 \(vis[a[p]][a[q]]\) 是否为 \(1\) 就行了。

总复杂度为 \(O(\dfrac{n^2}{32})\)