BUAA_概率统计_Chap09_假设检验
第九章 假设检验
9.1 假设检验的概念
先对总体的参数或总体的分布形式作某种假设 \(H_0\)，然后由抽样结果推断假设 \(H_0\) 是否成立。
在数理统计学中，称检验假设 \(H_0\) 的方法为假设检验。
- 参数的假设检验
- 分布的假设检验
检验假设的理论依据
实际推断原理：
小概率事件在一次试验（抽样）中是不可能发生的
9.2 正态总体均值和方差的假设检验
9.2.1 \(\sigma^2\) 已知，均值 \(\mu\) 的双边检验
1. \(\sigma^2 = \sigma_0^2\) 已知
- 提出假设：
\[\begin{aligned}
&H_0:\mu = \mu_0(原假设)\\
&H_1:\mu \ne \mu_0(备选假设)
\end{aligned}
\]
- 在 \(H_0\) 为真时，构建检验统计量
\[U=\dfrac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma_0 / \sqrt{n}} \sim N(0,1)
\]
- 确定检验水平 \(\alpha\) 和拒绝域
对于给定的检验水平 \(\alpha\)，\(P\{|U|>z_{1-\frac{\alpha}{2}}\} = \alpha\)
则 \(\{|U|>z_{1-\frac{\alpha}{2}}\}\)，即 \(\Big\{\Big|\dfrac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma_0/\sqrt{n}}\Big|>z_{1-\frac{\alpha}{2}} \Big\}\) 是小概率事件，从而，拒绝域：
\[\Big|\dfrac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma_0/\sqrt{n}}\Big|>z_{1-\frac{\alpha}{2}}
\]
- 由样本提供的信息计算 \(u=\dfrac{\overline{x} - \mu_0}{\sigma_0/\sqrt{n}}\) 的值，查 \(N(0,1)\) 表得 \(z_{1-\frac{\alpha}{2}}\)
- 若 \(|u|>z_{1-\frac{\alpha}{2}}\) 则拒绝原假设 \(H_0\)（\(H_0\) 伪），接受 \(H_1\)；
- 若 \(|u|\leq z_{1-\frac{\alpha}{2}}\) 则接受原假设 \(H_0\)（\(H_0\) 伪）。
- 得出结论
假设检验过程中得两类判断错误（判断失误）
- 当判断 \(H_0\) 伪（拒绝 \(H_0\)）时，实际情况 \(H_0\) 真——此为第一类错误（弃真）（概率小于或等于 \(\alpha\)）
- 当判断 \(H_0\) 真（接受 \(H_0\)）时，实际情况 \(H_0\) 伪——此为第二类错误（纳伪）（概率为 \(\beta\)）
当样本容量 \(n\) 固定时，犯两类错误的概率大小时相互制约的，即减小其中一个，另一个往往会增大。
通常的实际做法是：设置检验水平 \(\alpha\) 来限制第一类错误（根据具体情况），再尽量减小第二类错误。（增大样本容量 \(n\)）
在实际问题中，如何给定检验水平 \(\alpha\)，应根据具体情况而定
- 当拒绝一个属真的假设，即犯第一类错误后果非常严重时，应将 \(\alpha\) 取得小一些，如 \(\alpha=0.01,\alpha=0.005\) 等；
- 当取伪会引起严重后果时，可将 \(\alpha\) 取得适当大一些，如 \(\alpha = 0.05, \alpha = 0.10\) 等。
2. \(\sigma^2\) 已知，右边检验
此时样本信息显示 \(\overline{x} > \mu_0\)
- 提出假设
\[\begin{aligned}
&H_0:\mu = \mu_0(原假设)\\
&H_1:\mu > \mu_0(备选假设)
\end{aligned}
\]
- 构建检验统计量
\[U=\dfrac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma_0/\sqrt{n}} \sim N(0,1)
\]
- 确定拒绝域
\[P\Big\{\dfrac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma_0/\sqrt{n}}>z_{1-\alpha}\Big\} = \alpha
\]
- 由样本提供的信息计算出 \(u=\dfrac{\overline{x}-\mu_0}{\sigma_0/\sqrt{n}}\)
- 若 \(u>z_{1-\alpha}\) 则拒绝原假设（\(H_0\) 伪），接受 \(H_1\)；
- 若 \(u\leq z_{1-\alpha}\) 则接受原假设（\(H_0\) 真）
- 给出结论
3. \(\sigma^2\) 已知，左边检验
此时样本信息显示 \(\overline{x} < \mu_0\)
- 提出假设
\[\begin{aligned}
&H_0:\mu = \mu_0(原假设)\\
&H_1:\mu > \mu_0(备选假设)
\end{aligned}
\]
- 构建检验统计量
\[U=\dfrac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma_0/\sqrt{n}} \sim N(0,1)
\]
- 确定拒绝域
\[P\Big\{\dfrac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma_0 / \sqrt{n}} <-z_{1-\alpha}\Big\}=\alpha
\]
- 由样本提供的信息计算出 \(u=\dfrac{\overline{x}-\mu_0}{\sigma_0/\sqrt{n}}\)
- 若 \(u<z_{1-\alpha}\) 则拒绝原假设（\(H_0\) 伪），接受 \(H_1\)；
- 若 \(u\geq z_{1-\alpha}\) 则接受原假设（\(H_0\) 真）
- 得出结论
9.2.2 \(\sigma^2\) 未知时，均值 \(\mu\) 的假设检验
1. 未知方差，均值为 \(\mu\) 的假设检验
由于 \(\sigma^2\) 未知，这时 \(U\) 已不是统计量，因此我们用 \(\sigma^2\) 的无偏估计量 \(S^2\) 来代替 \(\sigma^2\)
- 提出假设
\[\begin{aligned}
&H_0:\mu = \mu_0(原假设)\\
&H_1:\mu \ne \mu_0(备选假设)
\end{aligned}
\]
- 构建检验统计量
\[T=\dfrac{\overline{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)
\]
- 确定拒绝域
\[P\{|T|>t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\}=\alpha
\]
从而，拒绝域 \(\Big|\dfrac{\overline{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}\Big|>t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\)
- 由样本计算出 \(T=\dfrac{\overline{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}\)，然后与 \(t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\) 进行比较
- 若 \(|T|>t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\)，则拒绝假设 \(H_0\)，接受 \(H_1\)
- 若 \(|T|\leq t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\)，则接受假设 \(H_0\)
- 得出结论
2. 未知方差 \(\sigma^2\)，左边检验
事先计算出样本值 \(\overline{x}>\mu_0\)
- 提出假设
\[ \begin{aligned}
&H_0:\mu = \mu_0(原假设)\\
&H_1:\mu > \mu_0(备选假设)
\end{aligned}
\]
- 构建检验统计量
\[T=\dfrac{\overline{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)
\]
- 确定拒绝域
\[P\{T>t_{1-\alpha}(n-1)\}=\alpha
\]
从而，拒绝域 \(\dfrac{\overline{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}>t_{1-\alpha}(n-1)\)
- 由样本计算出 \(T=\dfrac{\overline{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}\)，然后与 \(t_{1-\alpha}(n-1)\) 进行比较
- 若 \(T>t_{1-\alpha}(n-1)\)，则拒绝假设 \(H_0\)，接受 \(H_1\)
- 若 \(T\leq t_{1-\alpha}(n-1)\)，则接受假设 \(H_0\)
- 得出结论
3. 未知方差 \(\sigma^2\)，右边检验
事先计算出样本值 \(\overline{x}<\mu_0\)
-
提出假设
\[\begin{aligned} &H_0:\mu = \mu_0(原假设)\\ &H_1:\mu < \mu_0(备选假设) \end{aligned} \] -
构建检验统计量
\[T=\dfrac{\overline{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)
\]
- 确定拒绝域
\[P\{T>t_{1-\alpha}(n-1)\}=\alpha
\]
从而，拒绝域 \(\dfrac{\overline{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}<t_{1-\alpha}(n-1)\)
- 由样本计算出 \(T=\dfrac{\overline{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}\)，然后与 \(t_{1-\alpha}(n-1)\) 进行比较
- 若 \(T<t_{1-\alpha}(n-1)\)，则拒绝假设 \(H_0\)，接受 \(H_1\)
- 若 \(T\geq t_{1-\alpha}(n-1)\)，则接受假设 \(H_0\)
- 得出结论
以上三种检验法均采用了 \(t\) 分布，故又名 \(t\) 检验法。
9.2.3 正态总体方差的假设检验，\(\chi^2\) 检验法
1. 双边检验
- 提出假设
\[\begin{aligned}
H_0:\sigma^2=\sigma^2_0\\
H_1:\sigma^2\ne \sigma^2_0
\end{aligned}
\]
- 构建检验统计量
\[\chi^2=\dfrac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}\sim \chi^2(n-1)
\]
- 确定拒绝域
\[P\{\chi^2>\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\}=\dfrac{\alpha}{2}\\
P\{\chi^2<\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\}=\dfrac{\alpha}{2}
\]
从而拒绝域 \(\{\chi^2>\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\}\cup\{\chi^2<\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\}\)
- 根据样本值计算
\[\chi^2=\dfrac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}=\dfrac{1}{\sigma_0^2}\sum\limits^n_{i=1}(x_i-\overline{x})^2
\]
- 若 \(\chi^2<\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\) 或 \(\chi^2>\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\) 则拒绝假设 \(H_0\)，接受 \(H_1\)
- 否则接受假设 \(H_0\)
- 得出结论
2. 左边检验
- 提出假设
\[\begin{aligned}
H_0:\sigma^2=\sigma^2_0\\
H_1:\sigma^2 < \sigma^2_0
\end{aligned}
\]
- 构建检验统计量
\[\chi^2=\dfrac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}\sim \chi^2(n-1)
\]
- 确定拒绝域
\[P\{\chi^2<\chi^2_{\alpha}(n-1)\}=\alpha
\]
从而拒绝域 \(\chi^2<\chi^2_{\alpha}(n-1)\)
- 根据样本值计算
\[\chi^2=\dfrac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}=\dfrac{1}{\sigma_0^2}\sum\limits^n_{i=1}(x_i-\overline{x})^2
\]
- 若 \(\chi^2<\chi^2_{\alpha}(n-1)\) 则拒绝假设 \(H_0\)，接受 \(H_1\)
- 否则接受假设 \(H_0\)
- 得出结论
3. 右边检验
- 提出假设
\[\begin{aligned}
H_0:\sigma^2=\sigma^2_0\\
H_1:\sigma^2 > \sigma^2_0
\end{aligned}
\]
- 构建检验统计量
\[\chi^2=\dfrac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}\sim \chi^2(n-1)
\]
- 确定拒绝域
\[P\{\chi^2>\chi^2_{1-\alpha}(n-1)\}=\alpha
\]
从而拒绝域 \(\{\chi^2>\chi^2_{1-\alpha}(n-1)\}\)
- 根据样本值计算
\[\chi^2=\dfrac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}=\dfrac{1}{\sigma_0^2}\sum\limits^n_{i=1}(x_i-\overline{x})^2
\]
- 若 \(\chi^2>\chi^2_{1-\alpha}(n-1)\) 则拒绝假设 \(H_0\)，接受 \(H_1\)
- 否则接受假设 \(H_0\)
- 得出结论
