[文化课] 圆锥曲线

零. 前言

警告: 此文的内容不被高考所允许, 因此很可能无所取材.

博主长期做不起圆锥大题, 故有此篇. 多数参考知乎专栏.

他说了些很有意思的观点, 试举一例: "联立方程时, 要整理成只关于 $x$ 的方程: 这就把点的坐标 $(x,y)$ 给割裂了. 点的坐标 $(x,y)$ 是整体的, 而不是 $x,y$ 两个分开的实数."

一. 基础观点

显然, 不把点的坐标认为是 $(x,y)$ 两个实数的方法只有: 把点视为线性空间的矢量. 后文我会用 "几何对象" 和 "代数对象" 做区分.

引入 齐次坐标, 用三维线性空间中的矢量 (代数对象), 表示二维平面上的点 (几何对象). 对应规则是, 三维矢量 $(\lambda x,\lambda y,\lambda )(\lambda \ne 0)$ 对应点 $(x,y)$.

之所以叫齐次坐标: 在方程里, 所有项的次数是相同的, 因为对三维矢量 $(x,y,z)$ 中的 $\frac{x}{z}$ 和 $\frac{y}{z}$ 建立方程, 实际上每个项都是 $0$ 次的.

顺带一说, 点 $(x,y,0)$ 是个无穷远点, 从平面几何角度是 "看不到" 的, 但是在我们纯代数的研究中, 它没什么特别的. 类似地有 $(0,0,c)$ 无穷远直线.

由于几何对象和代数对象不完全相同, 后文用等号 = 表示代数对象完全相同, 而同余号 ≡ 表示几何对象相同 (也就是代数对象的等比放缩).

另外, 几何对象线 $\ell :ax+by+c=0$ 也可以拥有齐次坐标 $(a,b,c)$, 它满足 $(\lambda x,\lambda y,\lambda z)\equiv (x,y,z)$, 所以和点的地位相同.

不难发现点 $a$ 在直线 $\ell$ 上, 等价于 $a\cdot \ell =0$, 这是我们熟悉的向量内积. 但点积是很几何的概念, 我们认为它不是自然存在的. 为了表示这层关系, 我们找到了替代品: 对偶空间.

我们认为, 点的代数对象属于线性空间 $V$, 线的代数对象属于对偶空间 $V^{\ast }$. 因此将 $V$ 中的矢量称为 点矢, $V^{\ast }$ 中称为 线矢. 注意这都是代数对象.

齐次坐标让我们可以叉乘. 根据 $(A\times B)\cdot X=0(X\in \{A,B\})$, 我们晓得点矢叉乘 $(A\times B)$ 代表 ${\ell }_{AB}$. 对偶地, 线矢叉乘 $(A\times B)$ 代表 ${\ell }_A\cap {\ell }_B$.

这告诉我们: 点矢的叉乘是线矢, 线矢的叉乘是点矢.

二. 点乘

想要定义点矢之间的点积, 需要借助外力: $3\times 3$ 可逆对称 矩阵 $G$. 我们称其为度规.

用 $G$ 可以定义 $V\mapsto V^{\ast }$ 的映射: $a\mapsto Ga$. 其中 $V^{\ast }$ 的基底是对偶基. 还有 $V^{\ast }\mapsto V$ 的映射: $\ell \mapsto G^{-1}\ell$.

在度规有定义时, 它们是天造地设的一对. 将点矢记为 $a^o$, 则其对应线矢为 $a_o$. 将线矢记为 ${\ell }_o$, 则其对应点矢为 ${\ell }^o$. 这里 $o$ 只是形式上的记法, 用于区分类别, 有时省略.

此时定义点乘 $a^o\cdot b^o=a^o\cdot b_o$, 别忘了线矢和点矢的点积是天然的. $G$ 的对称性使得 $a\cdot b=b\cdot a$ 交换律成立.

此时有重要等式:

$$det(G)[(a^o\times b^o)\cdot (c^o\times d^o)]=(a^o\cdot c^o)(b^o\cdot d^o)-(a^o\cdot d^o)(b^o\cdot c^o)$$

注意左侧是线矢的点乘, 用的是 $G^{-1}$, 而右侧用的是 $G$. 代入是容易验证的, 只要别忘了 $det(G)\cdot G^{-1}$ 在 $G$ 对称时就是 $G$ 的伴随矩阵. 显然, 如果是四个线矢, 同样成立.

在研究几何对象时, $det(G)$ 就可直接拿掉.

三. 圆锥曲线

二次曲线 由 $3\times 3$ 对称矩阵 $G$ 定义: 以 $G$ 为度规, 则点矢 $a$ 的几何对象属于该二次曲线, 当且仅当 $a\cdot a=0$. 我们也将其称为 二次点列. 与之相对的是 二次线束: $\ell \cdot \ell =0$ 则 $\ell$ 在 $G$ 对应的二次线束上.

用 $G_{oo}$ 表示二次点列 (它类似线矢, 定义的是点的集合), 用 $G^{oo}$ 表示二次线束. 在 $G$ 可逆时, $G$ 给出的二次点列, 其全部切线就是 $G^{-1}$ 给出的二次线束. 因此用 $G^{oo}$ 表示 $G_{oo}$ 的逆矩阵, 反之亦然.

不难发现 $G_{oo}$ 就是普通的二次曲线, 因为 $a\cdot a$ 中包含了所有非齐次化意义下的二次或更低次项 (只需要调整 $G$ 的系数). 而 $G$ 的对称性能确保它 "唯一" (齐次坐标意义下).

若 $G$ 可逆, 可作度规. 则 $a^o$ 的极线是 $a_o$. 线 ${\ell }_o$ 的极点是 ${\ell }^o$. 若 $G$ 不可逆, 二次曲线会退化.

用两条线 $a_o,b_o$ 构造二者构成的退化二次曲线 $G$ 是简单的: 设 $a_o=(a_1,a_2,a_3)$, 同理设 $b_o$, 则 $G_{i,j}=a_i{b}_j+a_j{b}_i$. 为了方便, 简写为 $G_{oo}=a_o{b}_o+b_o{a}_o$, 再简写为 $G_{oo}=a_o\otimes b_o$. 因为它本质上就是乘法.

同理, 构造退化二次线束为 $G^{oo}=a^o\otimes b^o$, 其几何对象是所有经过 $a^o$ 或 $b^o$ 的直线.

来看看 韦达定理 在哪里. 设直线 ${\ell }_o$ 与非退化二次曲线 $G_{oo}$ 交于 $a,b$, 求 $a,b$ 两点给出的退化二次线束. 有一种巧妙的思路转换, 但不易说清, 我直接写结论, 过程读者自证不难: 直线 $m$ 属于该退化二次线束, 当且仅当 $m$ 与 $\ell$ 的交点在 $G$ 上, 或 $m$ 与 $\ell$ 重叠.

因此可以翻译为 $(m\times l)\cdot (m\times l)=0$, 打开得 $(m\cdot m)(l\cdot l)-(m\cdot l{)}^2=0$.

可以看出, 我们得到了结果: 该退化二次线束的矩阵

$$F^{oo}=l^2{G}^{oo}-l^o{l}^o$$

值得注意的是 $F^{oo}$ 确实是对称的, 因此 $F^{oo}\equiv a^o\otimes b^o$.

我们可以不开根号, 就得到 $F$. 这就是韦达定理, 因为 $\{\begin{array}{l}{a}^o=(x_1,y_1,1)\\ b^o=(x_2,y_2,1)\end{array}$ 时, 可以看到

$$a^o\otimes b^o=\left(\begin{array}{ccc}2x_1{x}_2& x_1{y}_2+x_2{y}_1& x_1+x_2\\ & 2y_1{y}_2& y_1+y_2\\ & & 2\end{array}\right)$$

由对称性, 下半部分未给出.

同样的方法可以给出 $a,b$ 的切线构成的退化二次点列. 还可以让 $a^o$ 点引 $G$ 的两条切线, 这两条切线构成的二次点列是 $H_{oo}=a^2{G}_{oo}-a_o{a}_o$. 而 $\{\begin{array}{l}{m}_o=(k_1,-1,b_1)\\ n_o=(k_2,-1,b_2)\end{array}$ 的构造

$$m_o\otimes n_o=\left(\begin{array}{ccc}2k_1{k}_2& -(k_1+k_2)& k_1{b}_2+k_2{b}_1\\ & 2& -(b_1+b_2)\\ & & 2b_1{b}_2\end{array}\right)$$

跃跃欲试? 马上就来.

例题: 有椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, 点 $P$ 作该椭圆的两条切线垂直, 求 $P$ 点轨迹.

解: 设点 $p^o=(x,y,1)$, 椭圆 $G_{oo}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{a^2}& & \\ & \frac{1}{b^2}& \\ & & -1\end{array}\right)$, 则 $p_o=(\frac{x}{a^2},\frac{y}{b^2},-1)$.

由 $p^2=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1$, 得切线的二次点列

$$H_{oo}=p^{2}G-pp=\left(\begin{array}{ccc}\frac{y^2}{a^2{b}^2}-\frac{1}{a^2}& \dots & \dots \\ \dots & \frac{x^2}{a^2{b}^2}-\frac{1}{b^2}& \dots \\ \dots & \dots & \dots \end{array}\right)$$

对比上面的矩阵, 我们需要 $\frac{H_{1,1}}{H_{1,2}}=-1$. 化简之后得到 $x^2+y^2=a^2+b^2$. 这就是蒙日圆.

补. 利用 $\ell \cdot \ell$ 的正负来判断 $\ell$ 是否与椭圆有交点, 是很快的. 它会写为 $A^2{a}^2+B^2{b}^2-C^2$.

四. 交比与对合

接下来, 我们考虑代数对象: 二维矢量. 注意我们仍然考虑齐次坐标. 在这里, 点积基本上是我们所熟知的那个 (不引入度规), 也不区分点矢和线矢.

考虑某种线性变换 $M$, 如果任意矢量 $a$ 满足 $M(Ma)\equiv a$, 我们称 $M$ 是 对合变换. 因为这种变换下, $a$ 和 $Ma$ 是配对关系, 二者地位相同.

由于 ${\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}^{-1}\equiv \left(\begin{array}{cc}-d& b\\ c& -a\end{array}\right)$, 显然 $a+d=0$ 时 $M$ 是对合变换.

实际上 $bc=0$ 且 $a=d$ 时也成立, 但这样 $M$ 就是恒等变换 (齐次坐标意义下), 因此不谈.

记 $ϵ=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$, 两个向量的普通点积 $x\cdot y=0$ 的解就是 $y=ϵx$, 因为是叉乘效果. 二维矢量的叉乘结果是实数, 简记为 $[ab]$, 因为它就是行列式. 同理, 三维矢量中的 $a\cdot (b\times c)$ 可以简记为 $[abc]$.

不难验证: 对称矩阵 $M$ 乘 $ϵ$ 会得到 $a+d=0$ 的矩阵. 因此我们说: 对合变换由对称矩阵 $M$ 定义, $a,b$ 对合等价于 $(Ma)\cdot b=0$, 这里是普通点积.

若 $Ma\equiv a$, 称这样的 $a$ 为对合变换的 不动点. 容易发现, 若有两个不动点 $p,q$, 可以确定 $M=(ϵp)\otimes (ϵq)$. 这就是因式定理.

我们用四个二维矢量 $a,b,c,d$ 可以定义 交比 $J_{ab,cd}=\frac{[ac][bd]}{[ad][bc]}$. 它有个强大之处: 某个线性变换 $M$ 同时作用于 $a,b,c,d$ 之上时, 交比不变, 因为分子分母只会同时乘 $det(M{)}^2$.

不难发现, 交比在齐次坐标下是良定义的 (不会算出不同结果).

构造三维行列式, 容易说明 $a[bc]-b[ac]+c[ab]=0$, 再叉乘 $d$ 即得 $[ad][bc]+[db][ac]+[ab][cd]=0$. 不难验证则有

$$J_{ab,cd}=\frac{1}{J_{ba,cd}}=1-J_{ac,bd}$$

设 $a,b,c,d$ 不共线, 则 $J_{ab,cd}\ne 0$. 这立刻说明 $J_{ac,bd}\ne 1$, 也就是说, 交比不可能为 $1$.

若 $J_{ab,cd}=-1$, 则称 $a,b$ 与 $c,d$ 互相 调和分割. 称 $a,b,c,d$ 构成 调和点列.

如果某个对合变换中, $p,q$ 是不动点, $a,b$ 对合. 将 $p,q,a,b$ 同时作该变换, 交比不变, 因此有 $J_{pq,ab}=J_{pq,ba}=\frac{1}{J_{pq,ab}}$. 而交比不能为 $1$, 这说明 $p,q$ 调和分割 $a,b$.

可见, 对合的两个点调和分割不动点. 而对于任意 $a$, 有唯一的 $b$ 使得 $a,b$ 调和分割 $p,q$. 且该对合可以经由不动点构造出. 故曰: 两个点对合, 等价于调和分割不动点.

上面的讨论是二维矢量上的. 我们要在三维矢量空间内讨论之. 也就是说: 我们可能会取 $V$ 的子空间 $S$, 其中 $\dim S=2$, 然后讨论其内的向量 (用二维矢量的方法). 交比在线性变化下不变, 因此是坐标系无关的; 在研究 $S$ 内向量时, 我们可以任取基底而不影响其结果.

具体操作方法, 见此例. 现在有 $\ell$ 和其上 $a,b$ 两点. 另作直线 $m,n$ 与 $\ell$ 分别交于 $c,d$ 两点. 如何验证 $a,b$ 和 $c,d$ 是否调和分割?

设 $a$ 的二维坐标表示形式是 $a^{\prime }$, 其余类似. 关键在如何计算叉乘. 注意到 $[a^{\prime }{c}^{\prime }]=a^{\prime }\cdot (ϵc^{\prime })$, 这里是普通点积. 怎么去理解 $ϵc^{\prime }$ 呢? 观察 $m$. 由于 $m\in V^{\ast }$ 在子空间内也是线性泛函, 因此必然存在坐标表示形式, 记为 $m^{\prime }$. 这个坐标必然满足 $m^{\prime }\cdot c^{\prime }=0$, 因此 $m^{\prime }\equiv ϵc^{\prime }$.

同样的道理 $n^{\prime }\equiv ϵd^{\prime }$. 但还需验证 $m^{\prime }$ 和 $n^{\prime }$ 的比例系数是否相同. 这很简单: 注意到 $m\mapsto m^{\prime }$ 的过程是, 先得到 $c=\ell \times m$, 再得到 $c^{\prime }$, 再得到 $ϵc^{\prime }$. 这都是对 $m$ 作线性变换. 因此终过程是 $m^{\prime }=\mathcal{A}m$. 而真实值必然也是线性变换. 所以得到的结果相差必定是相同的倍数, 即 $\mathcal{A}$ 与真实的线性变换之间的倍数.

所以 $a^{\prime }\cdot (ϵc^{\prime })$ 就是 $m$ 作用在 $a$ 上, 即 $m\cdot a$. 经过这样的转化, 我们会发现, 调和分割的条件是 $(m\cdot a)(n\cdot b)+(m\cdot b)(n\cdot a)=0$. 我们就用三维矢量, 表示了二维矢量的限制.

再说点别的. 此段可跳过. 考虑二次点列 $G$, 类似地, 可以将其限制到 $\ell$ 上, 得到 $G^{\prime }$, 仍然对称. 因此 $G^{\prime }$ 就给出对合, 不动点为 $\ell$ 与 $G$ 的交点. 然后调和分割点 $a,b$ 满足 $a\cdot b=0$, 以 $G$ 为度规.

换句话说: 若 $a\cdot b=0$, 则 $(a\times b)$ 与 $G$ 的交点被 $a,b$ 调和分割.

五. 二次交比

二次曲线 $G$ 上取四个点 $a,b,c,d$, 再任取 $p$, 则这四个点与 $p$ 所成直线是 $\dim =2$ 的子空间, 交比有定义. 类似上面推导, 二维叉乘可以直接变为三维空间的线与点的内积, 而线是点矢叉乘得到. 于是 $J=\frac{[pac][pbd]}{[pad][pbc]}$.

我们稍做处理. 仍令 $G$ 为度规. 根据行列式的性质, $[p^o{a}^o{c}^o]=det(G)[p_o{a}_o{c}_o]$, 令线矢为行向量, 点矢为列向量, 则

$$\begin{gathered} det(G)[p_o{a}_o{c}_o{]}^2=det\left(\begin{array}{ccc}{p}_o\cdot p^o& p_o\cdot a^o& p_o\cdot c^o\\ a_o\cdot p^o& a_o\cdot a^o& a_o\cdot c^o\\ c_o\cdot p^o& c_o\cdot a^o& c_o\cdot c^o\end{array}\right) \\ =det\left(\begin{array}{ccc}0& p\cdot a& p\cdot c\\ a\cdot p& 0& a\cdot c\\ c\cdot p& c\cdot a& 0\end{array}\right)=2(p\cdot a)(p\cdot c)(a\cdot c) \end{gathered}$$

对分子分母同时处理, 最终得到 $J^2=\frac{(a\cdot c)(b\cdot d)}{(a\cdot d)(b\cdot c)}$. 而 $J$ 关于 $p$ 是连续变化的, 因此 $J$ 是常数 (而不是两个相反数胡乱变化). 既然 $J$ 与 $p$ 无关, 我们就直接认为这个 $J$ 是 $a,b,c,d$ 四个点的交比. 由于点在二次点列上, 称其为 二次交比.

考虑调和点列, 只需 $J^2=1$. 移项我们会拿到: $(a\times b)\cdot (c\times d)=0$.

二次交比本质上还是交比. 故根据之前所说, 若 $p,q$ 是不动点, 则调和分割条件 $(a\times b)\cdot (p\times q)=0$ 等价于 $a,b$ 对合条件.

用 $\ell =p\times q$ 做替换, 我们知道 $\ell$ 给出了对合变换, $\ell$ 与 $G$ 的交点就是不动点.

它有什么用? 考虑这样的问题: 过椭圆上定点, 做两条直线分别与椭圆相交于另外两点 $a,b$. 若两直线斜率和为定值, 问 $a,b$ 所连直线是否经过定点. 答案是肯定的: 斜率和为定值, 这是对合条件. 而椭圆上的对合由直线 $\ell$ 确定, 则 $a,b$ 连线恒过 $\ell$ 对应的极点, 证毕.

而这个对合是很容易找到不动点的: 若斜率和为 $s$, 则斜率为 $\frac{s}{2}$ 的直线是不动的, 以及 斜率不存在的直线, 即与 $y$ 轴平行的直线.

从变换角度: 没有哪条直线可以跟这条直线对合, 因此这条直线必然跟自己对合, 是不动点. 从代数角度: 设点 $(x_0,y_0)$, 则斜率为 $k$ 的直线的三维矢量 $(k,-1,y_0-k{x}_0)$. 从中可见, 以 $i=(1,0,-x_0),j=(0,-1,y_0)$ 为基底, 坐标为 $(k,1)$, 对合矩阵是 $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$. 无斜率直线的坐标则为 $(1,0)$, 明显看出这是不动点.

该结论可逆用: 过定点的直线与圆锥曲线交于两点, 与圆锥曲线上第三点所成的两直线对合. (因此 "双线参" 总是本质且高效的普通解法.)

但联立极线和椭圆, 有悖于初衷. 不妨找到方法使得: 给出 $l_o$ 和 $G$ 上 $s^o$ 时, 设 $l_o$ 与 $G$ 交于 $a^o,b^o$, 能否直接求出 $H_{oo}=(a^o\times s^o)\otimes (b^o\times s^o)$ 呢?

我不知道怎么推导, 但是可以证明

$$H_{oo}=s_o\otimes l_o-(s\cdot l)G_{oo}$$

理由是: 直线 $(a^o\times s^o)$ 上的所有点 (除 $a^o$ 点) 可表示为 $(s^o+\lambda a^o)$. 代入上式, 知该直线属于 $H_{oo}$. 对 $(b^o\times s^o)$ 同理, 故 $H_{oo}$ 就是这两条直线. 恰好这个 $H_{oo}$ 还是对称的.

因此 "逆用结论" 不再需要解方程. 正用结论也不需要解方程了! 只需要构造

$$H_{oo}{\times }_2{G}^{oo}=-(s\cdot l)$$

因为 $G_{oo}{\times }_2{G}^{oo}=3$. 别忘了逆矩阵可以用伴随矩阵得到.

正用结论时, 写出 $H_{oo}$ 是不用解二次方程的. 靠上式得到 $(s\cdot l)$ 后, 直接有 $H_{oo}+(s\cdot l)G_{oo}=s_o\otimes l_o$, 由于 $s_o$ 已知, 作除法即可.

如果顶点在坐标轴上, 暴力联立也很快, 可以采用.

例. 椭圆 $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$, 过 $(3,0)$ 引直线, 问椭圆上 $(2,1)$ 与两个交点所成直线的对合关系.

解: 极线为 $\ell :x=2$, 交点为 $(2,\pm 1)$, 与 $(2,1)$ 所成直线分别为: $(2,1)$ 处的切线 (这就是我要说的: 当点重合时, 所成直线为切线) 即 $\ell :x+y=3$ 和 $\ell :x=2$. 斜率为 $k_1=+\mathrm{\infty },k_2=-1$, 因此对合条件为 $k_1+k_2=-2$.

顺带一说, 整个推导过程并不要求坐标是实数, 因此过椭圆内定点时, 其极线会与椭圆相交于坐标为复数的位置, 不必担心.

六. 仿射几何的中点

已经确定 $a,b,c$ 共线时, 取 $s$ 为 ${\ell }_{ab}$ 和 ${\ell }_{\mathrm{\infty }}$ (无穷远直线) 的交点, 则 $c$ 为 $a,b$ 中点, 等价于 $c,s$ 调和分割 $a,b$. 证明略.

于是考虑这个问题: 过定点 $a$ 的直线与圆锥曲线 $G$ 的交点的中点的轨迹.

由于直线是否为无穷远直线并不重要, 因此下文将无穷远直线简写为 $\ell$.

设该点为 $m$ 则 $s=(m\times a)\times l\equiv (l\cdot m)a-(l\cdot a)m$ 要使得 $m,s$ 调和分割 $(m\times s)$ 与 $G$ 的交点. 前面说过, 以 $G$ 为度规, 等价于 $m\cdot s=0$. 代入得

$$m\cdot s=(l\cdot m)(a\cdot m)-(l\cdot a)(m\cdot m)=0$$

可以看出结果是 $H_{oo}=l_o{a}_o-(l\cdot a)G$. 但是它不对称! 因此做对称化处理得到

$$H_{oo}=l_o\otimes a_o-2(l\cdot a)G_{oo}$$

但是, 根据 初级的愚蠢的 解析几何观点, 交点不能是无穷远点或复数点, 因此该圆锥曲线还需额外寻找范围, 非常讨厌.

七. 例子

该部分只是记录些我曾用过的此方法. 理论上, 下面的内容都无须阅读.

例. 设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, 设 $P,N,M$ 是椭圆上三点, 满足 $M,N$ 关于 $x$ 轴对称. 设 $PM,PN$ 分别与 $x$ 轴相交于 $R,S$, 求证: $x_R{x}_S=a^2$.

解: 设左右顶点为 $A,B$. 以 $x$ 轴为对合直线, 则 $M,N$ 对合, 则 $M,N,A,B$ 是二次调和点列, 则 $MP,NP,AP,BP$ 是调和线束, 与 $x$ 轴相交, 则 $R,S,A,B$ 是调和点列 (同时叉乘, 叉乘是线性变换, 不改变交比), 不难证明只需 $x_R{x}_S=a^2$.

另解: 构造 $P$ 关于 $x$ 轴对称点 $Q$, 则 $R,S$ 是两种 "两组边交点". 结论是二者互极 (点乘为零), 证明是向量式爆算: 设四点 $a,b,c,d$, 只需证

$$\begin{gathered} [(a\times b)\times (c\times d)]\cdot [(a\times c)\times (b\times d)] \\ \equiv [(a\times b)\cdot (a\times c)][(c\times d)\cdot (b\times d)]-[\cdots ][\cdots ] \\ \equiv [(a\cdot b)(a\cdot c)][(b\cdot d)(c\cdot d)]-[(a\cdot b)(d\cdot b)][(a\cdot c)(d\cdot c)]=0 \end{gathered}$$

由于形式类似, 省略了部分繁琐的东西.

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应该不会再有新东西了. $\mathtt{2022}\mathtt{/}\mathtt{12}\mathtt{/}\mathtt{22}$ 终.