为啥就我这么弱

娘的，又垫底了。一道题不会做，直接没交。——赛后交了下赛时的代码，零分。

$\mathsf{y}\mathsf{s}\mathsf{p}\mathsf{m}$ 都知道我卖弱了。我也不想的，但是我除了弱一无所有了。

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$T1$ 的二维偏序，我没看出来。就个裸的 $[l⩽a,b⩽r]$，我愣是认不出来。

$T2$ 对时间轴分治（线段树分治似乎可行），我没看出来。写了个 ${\log }^3$ 做法，因为写之前复杂度算错了。然后还没调过样例。

小指上的伤口也不见好转。至少这周要好吧。别再拖了。疼。刺痛。

所以这里到底是闲话还是题解。是咒骂吧。我倒挺希望能够在这里写点脏话的。

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磕 $\mathsf{y}\mathsf{s}\mathsf{p}\mathsf{m}$ 和 $\mathsf{z}\mathsf{e}\mathsf{r}\mathsf{o}\mathsf{4388}$ 是我仅剩的一点现实的乐趣了。

昨天打使命召唤，闪退了，存盘点没了。真倒霉。

但是近 $30$ 天不知道发生了多少倒霉事情。都不是很吃惊了的说。

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$T3$ 数学题：从 $[0,nm)$ 中选若干数，余数为 $x$ 的方案数记为 $f_x$，求 $\sum f_x^2$ 。$n,m⩽{10}^{18}$ 。

$\mathsf{c}\mathsf{r}\mathsf{a}\mathsf{s}\mathsf{h}\mathsf{e}\mathsf{d}$ 仗着自己强，就开始天马行空讲些不得了的东西，我代表数学矮子强烈谴责这种行为。其实是 DYM 的接班人。

下面是抄的题解做法。但是复杂度中的符号看不懂，所以不清楚最后一步咋处理的。😢

$$F(x)={[\prod _{j=0}^{n-1}(1+x^j)]}^{m}mod(x^n-1)$$

$\mathit{\text{DFT}}$ 得到

$${\hat{f}}_u={[\prod _{j=0}^{n-1}(1+{\omega }^{uj})]}^m$$

于是有

$$f_k=n^{-1}\sum _{u=0}^{n-1}{\hat{f}}_u{\omega }^{-uk}=n^{-1}\sum _{u=0}^{n-1}{\omega }^{-uk}{[\prod _{j=0}^{n-1}(1+{\omega }^{uj})]}^m$$

令 $d=gcd(u,n)$，由因式定理即得

$$\prod _{j=0}^{n-1}(1+{\omega }^{uj})={[\prod _{j=0}^{\frac{n}{d}-1}(1+{\omega }_{n/d}^j)]}^d=((-1{)}^{n/d}-1{)}^d$$

而

$$\sum _{gcd(n,u)=d}{\omega }^{-uk}=\sum _{p\mid \frac{n}{d}}\mu (p)\sum _{dp\mid u}{\omega }^{-uk}$$

代回原式得

$$f_k=n^{-1}\sum _{d\mid n}((-1{)}^{n/d}-1{)}^{dm}\sum _{p\mid \frac{n}{d}}[n\mid dpk]\mu (p)\frac{n}{dp}$$

注意到 $k$ 只出现在 $[n\mid dpk]$ 中，且显然实际有用部分是 $gcd(k,n)$ 。因此 $gcd(k,n)$ 相等时，$f_k$ 就相等。因此只需对所有 $n$ 的因子 $k$ 计算。

简记 $v_d=((-1{)}^{n/d}-1{)}^{dm}$，则上式即

$$f_k=n^{-1}\sum _{dpw=n}[w\mid k]v_d\cdot \mu (p)\cdot w$$

由于 $w\mapsto [w\mid k]w$ 和 $\mu$ 是积性函数，研究其贝尔级数，发现只有 $+1,-1$ 两项。因此可以 $\mathcal{O}(d(n))$ 枚举每个 $v_d$ 的贡献，要求 $k$ 在某些质数上的指数固定。

这样我们至少得到个 $\mathcal{O}(d(n)\log n)$ 的做法。不清楚能不能过。

还有种聪明的做法即利用 $f_k=f_{n-k}$ 的特点，转化为求解 $[x^0]F(x{)}^{2}mod(x^n-1)$ 。这样就只需要算 $\hat{f}$，最后提取单点 $f$，可以做到 $\mathcal{O}(d(n))$ 。

Comment. 其中 $d(n)$ 表示 $n$ 的约数个数。据称用 $d(n)=\mathcal{O}(n^{\frac{1.066}{\ln \ln n}})$ 作估算是比较准确的。