[CTSC2016]萨菲克斯·阿瑞

完全不想做题，所以跑去叮飘飘蛋（因为苍蝇不叮无缝蛋）。

顺便看到了这题，然后我就成了蛋神的小黄鸭。然后我就把我知道的写下来了。

所以，没错，这又是在口胡了。口胡是愚蠢的做法，毫无疑问。

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由于我博客园上随笔的风格都偏向于 $\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{p}\mathrm{t}$，就不分子标题了。

感觉用分割线还是挺舒服的。这是咋整的啊？

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考虑怎么判定某个 $sa$ 合法。显然只用考虑相邻元素 $i,j$ 。显然通过 $(i+1),(j+1)$ 在 $sa$ 中的前后关系可以确定字符 $s_i<s_j$ 或 $s_i⩽s_j$ 。而且该条件是充要的。

因此一个 $sa$ 可以唯一生成一个不等式链，其中含有 $<$ 和 $⩽$ 。

但不同不等式链不对应不同 $sa$，即某些不等式链不会被生成。否定词最多的一句话。

从题目要求中，可以想到一个更好的对应是，取该不等式链的最小解，即 $⩽$ 连接的字符都相同，用 $<$ 连接的同字符块连续递增。不妨令这些字符为从小到大的自然数。

此时一个 $sa$ 可以唯一生成一个字符串，该字符串的字符集大小为 $sa$ 生成的不等式链中 $<$ 的数量加一。显然每个字符串至多可被一个 $sa$ 生成，那就是它拥有的 $sa$ 。

考虑计数。显然我们想要计数表示方式。从一个简单的例子入手。设此种 $sa$ 的唯一生成字符串中有 $a$ 个 1，$b$ 个 2，$c$ 个 3，则多重组合数 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{a+b+c}{a,b,c})$ 肯定不会算漏。但是可能会多算。

考虑某个此种字符串 $\tilde{S}$ 所拥有的 $sa$ 。若该 $sa$ 的生成字符串非 $\tilde{S}$，则其被错误地统计了。生成字符串与不等式链挂钩；该 $sa$ 的生成不等式链，我们希望是

$$1⩽\cdots ⩽1<2⩽\cdots ⩽2<3⩽\cdots ⩽3$$

这样该 $sa$ 就会生成 $\tilde{S}$ 。而其他的可能的情况，显然是 $<$ 变为 $⩽$，比如

$$1⩽\cdots ⩽1⩽2⩽\cdots ⩽2<3⩽\cdots ⩽3$$

这样该 $sa$ 就不会生成 $\tilde{S}$ 。它会生成有 $(a+b)$ 个 1 和 $c$ 个 2 的字符串。

另一方面，生成字符串中含有 $(a+b)$ 个 1 和 $c$ 个 2 的 $sa$ 总是会被错误地统计恰好一次（通过查看其不等式链，容易找到使其被统计的 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{a+b+c}{a,b,c})$ 类串）。

因此，我们计算的 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{a+b+c}{a,b,c})$ 就是所有 $<$ 可以被自由替换为 $⩽$ 的总 $sa$ 数量。于是容斥得到

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{a+b+c}{a,b,c})-(\genfrac{}{}{0ex}{}{a+b+c}{a+b,c})-(\genfrac{}{}{0ex}{}{a+b+c}{a,b+c})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{a+b+c}{a+b+c})$$

这就是真正的 $sa$ 的数量。

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然而原题中给出了每种字符的限制。因此一种字符用完后，会开始使用下一个字符。相当于将两个字符合并起来了。

枚举字符怎样合并。显然，若干合并的字符中，只有最大的一个可能未用尽。因为填字符是个贪心的过程。

然后容斥的过程是枚举“段”怎样合并，最后的贡献是二项式系数与符号。

这是在字符种类上很连续的，考虑 $\mathtt{d}\mathtt{p}$ 。设 $f_i(j,k)$ 表示已经考虑了前 $i$ 种字符，填了 $j$ 个位置，末尾有个长为 $k$ 的段准备合并，所有方案的容斥系数和。转移比较简单：

1. 该种字符是段的末尾，并且不与后一个段合并。

$$f_i(j+l,k)\leftarrow \frac{1}{(k+l)!}{f}_{i-1}(j,k)\text{ for all }l\in [1,c_i]$$

2. 该种字符是段的末尾，但是与后一个段合并。注意段的合并有容斥系数。

$$f_i(j+l,k+l)\leftarrow -f_{i-1}(j,k)\text{ for all }l\in [1,c_i]$$

3. 该种字符不是段的末尾，则其必须用尽。

$$f_i(j+c_i,k+c_i)\leftarrow f_{i-1}(j,k)$$

注意上面每个字符都是被使用的，所以真实答案需枚举有多少个字符被使用，即 $ans=n!\sum _{i=1}^m{f}_i(n,0)$，前面的 $n!$ 是补全二项式系数。

最后前缀和优化转移，时间复杂度 $\mathcal{O}(n^{2}m)$ 。

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此时距离飘飘蛋切掉此题已经过去 $21\text{h}$ 了。这就是差距吧。